Appunti di Fisica Teorica - INFN

prodotto di due spinori di Dirac, come si evince dalla (16.16). Pertanto l’operatore
di “intrallacciamento” T µν
αβ connette uno dei due singoletti contenuti
nel prodotto di due spinoriali con il singoletto contenuto nella parte simmetrica
di due vettoriali. Poiché T commuta con l’azione del gruppo di Lorentz,
T è proporzionale all’identità su ogni componente irriducibile dello spazio del
prodotto delle spinoriali. Dunque T è nullo sulle componenti che non sono
singoletti e la sua immagine è contenuta nel singoletto (0, 0)s. Ricordiamo
che la parte simmetrica del prodotto di due vettoriali si decompone nella
parte senza traccia e nella traccia: siccome l’immagine di T è contenuta nel-
la traccia deve essere T µν
αβ = gµν tαβ. Sui bi-spinori di Dirac vαβ il gruppo di
Lorentz agisce secondo la
S t (Λ −1 ) ⊗ S(Λ) : v αβ → v αβ
Λ = S(Λ−1 )γα S(Λ)βδ v γδ
Pertanto la componente
δγδ vγδ
(16.21)
(16.22)
è un singoletto. Questo è precisamente il singoletto che viene proiettato da
T nel singoletto (0, 0)s. In conclusione
T µν
αβ = λgµν δαβ
(16.23)
dove λ è uno scalare. La normalizzazione usuale è di scegliere λ = 2. In
questo modo vediamo che l’algebra di Clifford (16.5) è una conseguenza della
relazione (16.3) che esprime a sua volta l’invarianza di Lorentz dell’equazione
di Dirac.
17 Vettori di Polarizzazione
Indichiamo con u(p, σ) il vettore di polarizzazione di una particella di impulso
p e spin σ, le cui componenti sono (u(p, σ))A = uA(p, σ), dove A è l’indice della
rappresentazione finito dimensionale del gruppo delle trasformazioni omogenee
di Lorentz che caratterizza il campo associato. Se Λ è trasformazione
di Lorentz omogenea, sia S(Λ) la matrice con elementi (S(Λ))AB ≡ S(Λ)AB
che rappresenta Λ nella rappresentazione in questione. Per esempio, per il
vettore massivo, A = µ con µ = 0, 1, . . . , 3 indice della rappresentazione vettoriale,
mentre per il campo di Dirac A = α dove α = 1, . . . , 4 è l’indice della
rappresentazione (1/2, 0)⊕(0, 1/2). Il campo relativistico ˆ ψA(x) si trasforma
sotto una trasformazione di Lorentz Λ secondo la seguente
U(Λ) : ˆ ψA(x) → S(Λ)AB ˆ ψB(Λ −1 x) (17.1)
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