Appunti di Fisica Teorica - INFN

Pertanto
ˆR(R ˆp) −1 R ˆ R(ˆp) = Rz(θ(R, p)) (13.24)
dove Rz(θ) è una rotazione spaziale lungo l’asse delle z. Quindi
L(R p) −1 R L(p) = ˆ R(R p) Bz(|p|) −1 Rz(θ(R, p)) Bz(|p|) ˆ R(ˆp) −1
Le trasformazioni di Lorentz speciali lungo z e le rotazioni spaziali lungo z
commutato:
Bz(ω) Rz(θ) = Rz(θ) Bz(ω) (13.25)
Dunque
L(R p) −1 R L(p) = ˆ R(R p) Rz(θ(R, p)) ˆ R(ˆp) −1 = R (13.26)
13.1.1 La base del sistema di riposo
Indichiamo con Rz(θ) il sottogruppo ad un parametro di W¯p corrispondente
alle rotazioni lungo l’asse delle z. Scegliamo come base di H¯p la base degli
autostati di Rz(θ)
U(Rz(θ))|¯p, σ〉 = e i θ σ |¯p, σ〉 (13.27)
Definiamo infine una base di Hp con p generico nel modo seguente
Questa scelta è equivalente a porre
|p, σ〉 = U(L(p))|¯p, σ〉 (13.28)
Nσσ ′(L(p), ¯p) = δσσ ′ (13.29)
In questa base l’azione delle trasformazioni di Lorentz omogenee si scrive
U(Λ) |p, σ〉 = Nσ ′ σ(W (Λ, p), ¯p) |Λ p, σ ′ 〉 (13.30)
Una rappresentazione unitaria ed irriducibile sarà pertanto caratterizzata da
m2 , dal segno di p0 e da uno spin j. Indicheremo lo spazio di questa rappresentazione
con H ±
m,j . L’azione delle trasformazione di Lorentz omogenea
diventa
U(Λ) |p, σ〉 = D (j)
σ ′ σ (W (Λ, p) |Λ p, σ′ 〉 (13.31)
dove D (j)
σ ′ σ (R), con σ, σ′ = 1, . . . , 2 j+1, sono le matrici della rappresentazione
di spin j del momento angolare, e
D (j)
σ ′ σ (Rz(θ)) = δσ ′ i θ σ
σ e
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(13.32)