Appunti di Fisica Teorica - INFN

(A+, A−). Le rappresentazioni di dimensioni due, la (1/2, 0) e la (0, 1/2)
sono dette rispettivamente spinoriale ed anti-spinoriale. Da quanto detto,
una rappresentazione esplicita della (0, 1/2) è data da
A i −( 1
2 , 0) = 0 ⇒ Ai +( 1
i
, 0) = J
2
( 1
1
= ,0) 2 2 σi
K i
( 1
2
,0) = − i
2 σi
dove le σ i sono le matrici di Pauli, mentre per la (0, 1/2) abbiamo
Dunque:
Poiché
dove
J i
(0, 1
1
= ) 2 2 σi
J µν
( 1
2 ,0)
†
K i
(0, 1
2
= J µν
(0, 1
2 )
) = + i
2 σi
(15.4)
(15.5)
(15.6)
i µν
ωµν J 2 ( R 1
( ,0)(Λ) = e
2 1 2 ,0) (15.7)
Λ = e ω
(15.8)
abbiamo che
R 1
( 2 ,0)(Λ−1 †
) = R 1
(0, 2 )(Λ)
(15.9)
La rappresentazione (R 1
( 2 ,0)(Λ)
∗ è irriducibile di dimensione due: a priori,
è dunque equivalente o a se stessa o alla R 1
(0, ). Per stabilire quali delle
2
due possibilità è realizzata, ricordiamo la seguente
(σ i ) t = (σ i ) ∗ = −σ2 σ i σ2 = −ɛ σ i ɛ −1
(15.10)
dove ɛ = −i σ2 è la matrice antisimmetrica con elementi (ɛ)αβ = ɛαβ. La
(15.10) discende dalla relazione valida per tutte le matrici R 2 × 2
Dalla (15.10) segue che
det R R −1 = −(ɛ R ɛ) t
(J i
( 1
2 ,0))∗ = −ɛ J i
( 1
2 ,0) ɛ−1 = −ɛ J i
(0, 1
2
(K i
( 1
2 ,0))∗ = +ɛ K i
( 1
2 ,0) ɛ−1 = −ɛ K i
62
) ɛ−1
(0, 1 ɛ−1
) 2
(15.11)
(15.12)