Appunti di Fisica Teorica - INFN

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Pertanto, avendo posto Σ(ɛq) ≡ (ɛq − ɛ0) − g 2 k ɛq − ɛk k=q gli stati di singola particella φk nel limite continuo diventano φq = gq Σ(ɛq) = ∂ɛk ∂k ∂Ek ∂k ∂ɛk ∂k ∂Ek ∂k ψ0 − P dk ψq − gq Σ(ɛq) P dk gk ɛk − Eq gk ɛk − Eq dove P denota la parte principale dell’integrale. ψk + Σ(ɛq) gq ψq ψk − gq Σ(ɛq) ψ0 9 Modello di Bogoliubov per superfluidi (8.23) (8.24) (8.25) Consideriamo un modello di N bosoni identici, non-relativistici e di spin zero, quantizzati in una scatola di volume V , con un’interazione repulsiva a due particelle caratterizzata da un potenziale U(x1 − x2) la cui trasformata di Fourier sarà indicata con g( k): dove ɛk = 2 k 2 2m H = k ɛ k a † k a k + k, k1, k2 g( k) 2 V a† k1+ k a† k2− k a k2 a k1 (9.1) è la relazione di dispersione delle particelle libere. In assenza di interazione lo stato fondamentale del sistema è, naturalmente, lo stato |Ω0〉 = (a† 0) N √ |0〉 (9.2) N! in cui tutte le N particelle si trovano nello stato con momento k = 0. In presenza di un’interazione repulsiva è ragionevole pensare che nello stato fondamentale esatto |Ω〉 una frazione delle particelle si trovi in stati di impulso diverso da zero: per un’interazione sufficientemente piccola possiamo però ritenere che il numero di particelle con numero d’onda k = 0 nello stato 34
fondamentale — N0 ≡ 〈Ω| ˆ N0|Ω〉 = 〈Ω|a † 0 a0|Ω〉 — sia macroscopico rispetto ai numeri di occupazione Nk ≡ 〈Ω| ˆ Nk |Ω〉 = 〈Ω|a † a k k |Ω〉 con k = 0 sullo stesso stato. In altre parole possiamo supporre che sullo stato fondamentale Nk
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Page 51 and 52: per cui ∂l ij M (M0) = Mim δm
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Page 67 and 68: e forniscono una rappresentazione d
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La matrice UP deve pertanto soddisf
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Le condizioni di normalizzazione su
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19.2 Matrici densità per il campo
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Consideriamo ora il commutatore (20
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dove abbiamo definito la funzione d
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21.2 Propagatore per il campo di Di
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Poiché = = la (22.9) diventa d Γi
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22.2.2 Diffusione da potenziale In
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Dobbiamo dunque determinare ˙¯x(T
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che è un espressione divergente. C
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L ω = − 2 √ ∞ π → ɛ→0
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dove la traccia nel secondo membro
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e dell’azione effettiva Seff(B) p
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ɛ > 0. Questo equivale a definire
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dove ψ1(x1, t1) e ψ2(x2, t2) sono
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In questo caso possiamo supporre ch
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dove kz è la componente di k lungo
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