Appunti di Fisica Teorica - INFN

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23.4 Campo scalare in campo elettrico costante Un campo elettrico constante nella direzione delle asse delle z può essere descritto dal potenziale vettore Aµ = (E x3, 0, 0, 0) (23.66) L’operatore di cui vogliamo dunque calcolare il determinante è l’analogo dell’operatore (23.44) ˆH(E) ≡ −(ˆp0 − e E c x3) 2 + ˆp 2 1 + ˆp 2 2 + ˆp 2 3 + c 2 m 2 (23.67) Effettuando la rotazione di Wick x0 → −ix0, p0 → i p0 nella (23.67) otteniamo ˆHeuc(E) i e E ≡ (ˆp0 − (23.68) c x3) 2 + ˆp 2 1 + ˆp 2 2 + ˆp 2 3 + c 2 m 2 Notiamo che l’operatore ottenuto non è hermitiano: il suo spettro non sarà reale e, di conseguenza, il determinante avrà una parte immaginaria. Applichiamo infatti i risultati della sezione precedente sostituendo nelle formule ottenute nel caso magnetico il campo magnetico B con iE. Dalla (23.60) ricaviamo S rin eff (E) V4 = − m4 c 4 16 π 2 3 = − m4 c 4 16 π 2 3 ∞ dT 0 T 3 2 i a T ei a T − e−i a T − 1 − a2 T 2 3! ∞ dT T 3 a T sin(aT ) − 1 − a2 T 2 e 3! −T dove il parametro adimensionale a è definito dalla relazione 0 a ≡ e E m 2 c 3 e −T (23.69) (23.70) Notiamo che l’integrando che appare nella (23.69) ha dei poli semplici per valori di T che soddisfano la condizione a T = n π (23.71) dove n è un intero positivo. L’integrazione sul semi-asse reale T > 0 è dunque, strettamente parlando, non definita. Definiamo l’integrale per continuazione analitica dando al parametro a una piccola parte immaginaria a → a+iɛ con 110
ɛ > 0. Questo equivale a definire l’integrale integrando su un cammino che corre lungo l’asse T > 0 che aggiri i punto Tn = nπ nel semipiano complesso a inferiore. L’integrazione intorno ai poli dà il seguente contributo alla parte immaginaria dell’azione effettiva Img Srin eff (E) V4 = m4 c 4 a 2 16 π 2 3 = e2 E 2 16 π 3 c 2 ∞ (−1) n=1 n+1 (nπ) ∞ (−1) n+1 n=1 2 π e− nπ n 2 a (23.72) e − nπ m2 c 3 e E Notiamo che per a
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15 Spinori 61 15.1 Proprietà di co
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di prima-quantizzazione: F (1) ψα
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a
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dove ω è una matrice N × N, diag
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dove χN(z) è quello che viene chi
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Deriviamo lo stesso risultato in un
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4 Buche e Particelle Le trasformazi
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= = = k>kF k>kF k>kF E(k)a †
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L’energia imperturbata dello stat
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è affidabile per l → 0 (Dunque p
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coordinate normali xj = w (0) j ξ0
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(in altre parole, per q ∈ I, il m
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momento k e polarizzazione ɛα, c
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in un formalismo integralmente di s
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8 Modello di Anderson-Fano Vogliamo
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precisamente, sono comprese tra ɛk
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fondamentale — N0 ≡ 〈Ω| ˆ
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e h0 = g(0)n 2 N − k=0 E k sinh
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dalla particolare forma della g(k)
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dove ɛ(p) ≡ p2 − µ 2m L’ide
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Si noti che sul minimo per E0 i ter
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Da quanto abbiamo detto, I(0)=1. Co
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In altre parole la legge di trasfor
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per cui ∂l ij M (M0) = Mim δm
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otteniamo U(Λ) |p µ , σ〉 = Nσ
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13.1 Caso massivo Nel caso massivo
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13.1.2 La base dell’elicità Sia
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Page 113 and 114: dove ψ1(x1, t1) e ψ2(x2, t2) sono
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Page 117 and 118: dove kz è la componente di k lungo
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