Appunti di Fisica Teorica - INFN

8 Modello di Anderson-Fano
Vogliamo discutere il sistema:
H = ɛ0b † b +
k
ɛkc †
k ck + gk(c †
k b + b† ck)
(8.1)
che descrive un sistema di particelle descritte dai creatori e distruttori ck e
con legge di dispersione ɛ(k) che interagisce con un’ “impurità” descritta
c †
k
da una singola coppia di creatori distruttori b, b † . Il sistema potrebbe descrivere
l’effetto di un’impurità che assorbe le eccitazioni passando in uno stato
eccitato e si dis-eccita riemettendo l’eccitazione.
Il sistema è quadratico e pertanto risolubile. Siamo interessati a descrivere
esplicitamente la soluzione quando il sistema di particelle ha uno spettro
continuo. Cominciamo però, per capire la struttura del problema, col caso in
cui lo spettro ɛk è discreto e l’indice k assume un numero finito N di valori.
Cerchiamo una trasformazione unitaria che diagonalizzi H: introduciamo un
indice α ≡ (0, k) che assume N + 1 valori, sia cα ≡ (c0, ck), e ɛα ≡ (ɛ0, ɛk).
Cerchiamo operatori di creazione e distruzione aα e a † α legati ai cα da una
trasformazione unitaria
che diagonalizza H
Le equazioni agli autovalori sono
cα =
β
H =
α
Rαβ aβ
Eαa † α aα
(ɛ0 − Eβ) R0β +
Dalla seconda equazione otteniamo
k
(8.2)
(8.3)
gk Rkβ = 0 (8.4)
gk R0β + (ɛk − Eβ) Rkβ = 0 (8.5)
Rkβ = − gk R0β
ɛk − Eβ
(8.6)
che sostituito nella prima equazione porta all’equazione per gli autovalori Eα:
(ɛ0 − Eβ) =
31
k
g 2 k
ɛk − Eβ
(8.7)