Appunti di Fisica Teorica - INFN

abbiamo
i
−
e 2 θ σ2
1
e 2 ϑp σ3
i
e 2 θ σ2 =
i
−
= e 2 θ σ2
ϑp
(cosh
= cosh ϑp
2
2 + σ3 sinh ϑp
2
i
θ σ2 ) e 2
+ sinh ϑp
2 (cos θ σ3 + sin θ σ1) (17.23)
In conclusione i vettori di polarizzazione nella rappresentazione spinoriale
(17.9) delle matrici di Dirac si scrivono
u(p, σ) = √ ϑp
ϑp
[cosh + sinh 2 2 m
(cos θ σ3 + sin θ σ1)] wσ
[cosh ϑp
ϑp
− sinh 2 2 (cos θ σ3
+ sin θ σ1)] wσ
= √ ϑp
ϑp p
[cosh + sinh · σ] wσ
2 2 |p|
m
[cosh ϑp
ϑp p
(17.24)
− sinh · σ] wσ
2 2 |p|
Esercizio: Si verifichi che il vettore di polarizzazione (17.24) soddisfi l’equazione
di Dirac, (p µ γµ − m) u(p, σ) = 0
Esercizio: Si determinino i vettori di polarizzazione
u(p, σ) nella rappresen-
ϑp
cosh
tazione standard. (Soluzione: u(p, σ) = √ m
sinh ϑp
2
2 wσ
17.1.2 Vettori di polarizzazione con elicità definita
p
|p|
· σ wσ
Sia Rˆ p (φ) una rotazione lungo l’asse ˆ p. Si ricordi che la scelta (17.7) per
L(p) implica che W (R, p) = R se R è una rotazione. Pertanto, prendendo
Λ = Rˆ p (φ) nella (17.5), otteniamo
S(Rˆp (φ)) u(p, σ) =
Dσ, σ ′(Rˆp (φ)) u(p, σ ′ ) (17.25)
σ ′
È possibile dunque scegliere i vettori di polarizzazione come autovettori delle
rotazioni lungo l’asse ˆ p: denotiamo questi vettori — detti di elicità definita
— con ũ(p, σ). Avremo:
p
|p| · J D ũ(p, σ) = 1
σ ũ(p, σ) (17.26)
2
dove J D è il generatore delle rotazioni nella rappresentazione degli spinori di
Dirac. Poiché
e −iθJy Jz e iθJy = p
|p| · J (17.27)
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).