Appunti di Fisica Teorica - INFN

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che dimostra che la soluzione di (10.18) con ∆ = 0 ha energia inferiore della soluzione ∆ = 0. È vero in generale che E0 < 0 se ∆ = 0 (in quanto ɛ( √ ∆2 + ɛ2 − ɛ) ≤ 1 2∆2 dove vale il segno di eguaglianza solo per ∆ = 0.) Prendendo µ ≈ p2 F abbiamo per lo spettro delle eccitazioni intorno alla 2m sfera di Fermi ˜ɛ(p) = 1 (p 2m 2 − p2 F )2 + 4 m2∆2 . (10.22) Rispetto alla teoria libera, per la quale ɛ(p) ≈ pF m |p − pF | intorno alla sfera di Fermi, la teoria interagente esibisce un “gap” pari a ∆. Questo effetto è quello che spiega la superconduttività nell’applicazione di questo modello ad un sistemi di fermioni interagenti con fononi. N V Problema: Determinare il potenziale chimico µ in funzione della densità ≡ n nel limite di accoppiamento debole g → 0 Il potenziale chimico µ è determinato dall’equazione N = 〈up, vp| ˆ N|up, vp〉 = 2 v 2 p = ɛ(p) 1 − 2 ɛ(p) 2 + ∆2 Nel limite continuo N V 0 p 1 = 2π23 ∞ dp p 2 p 1 − 2 − p2 0 (p2 2 − p0) 2 + (2m∆) 2 p (10.23) (10.24) dove abbiamo posto µ ≡ p2 0 . Si noti che per ∆ = 0 la funzione fra parentesi 2m quadre nell’integrale diventa una funzione a gradino, che vale 2 per p ≤ p0 e si annulla per p > p0. In questo caso otteniamo la relazione del gas libero p di Fermi 3 0 3π23 = N V , cioè p0 = pF . Per ∆ = 0 la stessa funzione diventa un gradino piú arrotondato. Cerchiamo dunque la correzione alla relazione p0 = pF per a ≡ ( 2m∆ p2 ) 0 2 → 0 (10.25) Riscriviamo l’integrale in Eq. (10.24) in termini di variabili adimensionali pF 3 = p0 3 ∞ dx x 2 0 2 x 1 − 2 − 1 (x2 − 1) 2 + a = 3 ∞ dy 4 −1 y y + 1 1 − ≡ I(a) (10.26) y2 + a 44
Da quanto abbiamo detto, I(0)=1. Consideriamo la derivata di I(a) rispetto ad a I ′ (a) = 3 ∞ √ y + 1 y dy = 8 −1 3 ∞ dy √ (10.27) 16 −1 y + 1 y2 + a (y 2 + a) 3 2 dopo aver integrato per parti. Per a > 0 l’integrale converge, ma per a → 0, l’integrale, a causa della singolarità dell’integrando per y = 0, diverge in modo logaritmico dy . Per a piccolo possiamo approssimare l’integrale in y (10.27) con il contributo che proviene da un intervallo intorno del punto y = 0 in cui la funzione è sensibilmente diversa da zero. Denotiamo con 2α la lunghezza di questo intorno e consideriamo α fissato mentro a → 0, cioè prendiamo √ a
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Dobbiamo dunque determinare ˙¯x(T
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che è un espressione divergente. C
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L ω = − 2 √ ∞ π → ɛ→0
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dove la traccia nel secondo membro
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e dell’azione effettiva Seff(B) p
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ɛ > 0. Questo equivale a definire
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dove ψ1(x1, t1) e ψ2(x2, t2) sono
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In questo caso possiamo supporre ch
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dove kz è la componente di k lungo
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