Appunti di Fisica Teorica - INFN

dove χN(z) è quello che viene chiamato il carattere della rappresentazione del
gruppo delle rotazioni degli stati di livello N:
χN(z) = TrHN eiθ ˆ Jz (3.6)
TrHN denota la traccia sul sottospazio HN degli stati di livello N. Notiamo
che il carattere della rappresentazione irriducibile di spin j fissato è dato da
Notiamo che
χ (j) (z) =
m=j
m=−j
z m = zj+1/2 − z −(j+1/2)
z 1/2 − z −1/2
χ (j) (z) = χ (j) (1/z) = (χ (j) (z)) ∗
(3.7)
(3.8)
La rappresentazione del gruppo delle rotazioni sullo spazio HN degli stati
di livello N sarà in generale riducibile: siamo interessati a conoscere le sue
componenti irriducibili. Data una rappresentazione del gruppo delle rotazioni
riducibile che è la somma diretta di rappresentazioni di spin jα, con α = 1, . . .
il suo carattere è la somma dei caratteri χjα(z). Dunque se a livello N sono
presenti gli spin {j1, j2, . . .}, avremo che
χN(z) =
χjα(z) (3.9)
Notiamo la circostanza seguente. Possiamo definire un prodotto scalare sullo
spazio dei caratteri nel modo seguente: se χ(z) e χ ′ (z) sono i caratteri di due
rappresentazioni poniamo la definizione
(χ, χ ′ ) ≡ 1
2
α
dz
2πiz |z1/2 − z −1/2 | 2 χ(z) χ ′ (z) (3.10)
dove l’integrale è lungo un contorno che circonda il punto z = 0. Notiamo che
rispetto a questo prodotto scalare i caratteri delle rappresentazioni irriducibili
sono ortonormali:
Infatti
1 dz
2
1
2
=
dz
1
2
(χ (j) , χ (j′ )
) = δj,j ′ (3.11)
2πiz |z1/2 − z −1/2 | 2 χ (j) (z) χ (j′ ) ′(z) =
2πiz (z−(j+1/2) − z j+1/2 ) (z (j′ +1/2) −(j
− z ′ +1/2)
) =
dz
2πiz (zj′ −j j−j
+ z ′
− z (j+j′ +1) −(j+j
− z ′ +1)
) = δj,j ′ (3.12)
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