Appunti di Fisica Teorica - INFN

Introducendo pertanto gli operatori di campo relativistici
ˆψ(x) = ˆ ψ (+) (x) + ˆ ψ (−) (x) ≡
≡
p, σ
âp, σ ψ (+)
p, σ (x) + ˆb †
p, σ ψ(−)
p, σ
(x) (14.10)
otteniamo le seguenti formule per l’operatore che nella teoria non-relativistica
è associato al numero di particelle sullo spazio di Fock:
〈 ˆ ψ, ˆ ψ〉scalare = 〈 ˆ ψ (+) , ˆ ψ (+) 〉scalare + 〈 ˆ ψ (−) , ˆ ψ (−) 〉scalare =
=
p
â †
p âp − ˆ bp ˆ b †
p
〈 ˆ ψ, ˆ ψ〉weyl = 〈 ˆ ψ (+) , ˆ ψ (+) 〉weyl + 〈 ˆ ψ (−) , ˆ ψ (−) 〉weyl =
=
p
â †
p âp + ˆ bp ˆ b †
p
〈 ˆ ψ, ˆ ψ〉dirac = 〈 ˆ ψ (+) , ˆ ψ (+) 〉dirac + 〈 ˆ ψ (−) , ˆ ψ (−) 〉dirac =
=
p σ
â †
p σ âp σ + ˆb pσ ˆb †
p σ
(14.11)
(14.12)
(14.13)
Pertanto, otteniamo per le corrispondenti Hamiltoniane le espressioni seguenti:
〈 ˆ ψ, i ∂t ˆ ψ〉scalare = 〈 ˆ ψ (+) , i ∂t ˆ ψ (+) 〉scalare + 〈 ˆ ψ (−) , i ∂t ˆ ψ (−) 〉scalare =
=
p
ωp â †
p âp + ωp ˆ bp ˆ b †
p
〈 ˆ ψ, i ∂t ˆ ψ〉weyl = 〈 ˆ ψ (+) , i ∂t ˆ ψ (+) 〉weyl + 〈 ˆ ψ (−) , i ∂t ˆ ψ (−) 〉weyl =
=
p
ωp â †
p âp − ωp ˆ bp ˆ b †
p
〈 ˆ ψ, i ∂t ˆ ψ〉dirac = 〈 ˆ ψ (+) , i ∂t ˆ ψ (+) 〉dirac + 〈 ˆ ψ (−) , i∂t ˆ ψ (−) 〉dirac =
=
p σ
ωp â †
p σ âp σ − ωp ˆb pσ ˆb †
p σ
60
(14.14)
(14.15)
(14.16)