Appunti di Fisica Teorica - INFN

e dunque
HR ∼ H 1
m=0,h=+ ⊕ H
2
∗
m=0,h=− 1
2
HL ∼ H m=0,h=− 1
2
⊕ H ∗
m=0,h=+ 1
2
(15.52)
Questo significa che le anti-particelle di un campo destrorso (sinistrorso)
hanno elicità − 1 1 ( ). Le equazioni di Weyl non sono dunque invarianti
2 2
sotto coniugazione complessa: particelle ed anti-particelle si trasformano in
rappresentazioni inequivalenti del gruppo inomogeneo di Lorentz.
Notiamo anche che l’operatore di coniugazione di parità P manda invece
rappresentazioni ad energia positiva (negativa) in rappresentazioni ad energia
positiva (negativa) e cambia il segno dell’elicità: dunque
P : H (±)
R
→ H(±)
L
e quindi le equazioni di Weyl non sono invarianti per P .
Componendo C con P abbiamo dunque
CP : H (+)
R
CP : H (+)
L
→ H(−)
R
→ H(−)
L
(15.53)
(15.54)
L’operazione di CP manda pertanto HR e HL in se stessi, e lascia quindi
invarianti le equazioni di Weyl.
Veniamo ora alla proprietà di coniugazione dell’equazioni di Dirac (15.29)
nella rappresentazione spinoriale: prendendo le coniugate complesse di queste
equazioni otteniamo delle equazioni della stessa forma per i campi coniugati:
ψ c
( 1
2 ,0)(x) = ɛ−1 ψ ∗
(0, 1
2 )(x)
ψc
(0, 1
( 1
2 )(x) = −ɛ−1 ψ ∗
2 ,0)(x)
(15.55)
Per quanto riguarda l’inversione spaziale, se indichiamo con P µ ν la matrice
che implementa l’inversione spaziale sul quadrivettore x µ
allora
x µ
P = Pµ ν x ν = (x 0 , −x) (15.56)
ψ P
( 1
2 ,0)(x) = ηP ψ (0, 1
2 )(xP ) ψ P
(0, 1
2 )(x) = ηP ψ ( 1
2 ,0)(xP ) (15.57)
soddisfano le stesse equazioni di Dirac. ηP è un numero associato alla parità
intrinseca dei fermioni ed può essere ±1 or ±i a seconda se si sceglie
(rispettivamente) P 2 = 1 o P 2 = −1.
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