Appunti di Fisica Teorica - INFN

è affidabile per l → 0 (Dunque per l = l∗, |E1|
|E0| ≈ 2 l∗. Cioè l∗ cade in una
regione dove l’approssimazione del primo ordine dovrebbe essere, in linea di
principio, cattiva. Di fatto, la formula del primo ordine è ragionevolmente
ben verificata sperimentalmente per molti metalli).
6 Fononi
Schematizziamo il reticolo degli ioni come un sistema di oscillatori armonici
accoppiati tra loro. Cominciamo per semplicità col sistema uni-dimensionale
N−1
2 pi 1
H = +
2m 2 k (xi − xi+1) 2
N−1
=
i=0
i=0
p2 i 1
+
2m 2
k
i,j
Vij xi xj
(6.1)
dove abbiamo posto xi+N ≡ xi. Vogliamo per prima cosa passare a coordinate
normali, cioè coordinate ξj definite da
xi = Rij ξj
dove R è la matrice ortogonale che diagonalizza Vij
Equivalentemente
RkiVklRlj = δijλi
k
VikRkj = Rijλj
(6.2)
(6.3)
(6.4)
Pertanto Rij = (w (j) )i è la componente i-esima dell’autovettore di V con
autovalore λj.
Definiamo l’operatore T che manda xi in xi+1 (e pi in pi+1). T è rappresentato
dalla matrice Tij = δi,j−1 (adottando la notazione che identifica
l’indice i con l’indice i+N). T commuta con V : fisicamente questo esprime il
fatto che il potenziale dato è invariante per traslazioni i → i+1 (è per questo
motivo che abbiamo identificato xN con x0). In effetti è facile verificare che
V = 2 − T − T −1
(6.5)
V e T possono dunque essere diagonalizzate simultaneamente da una matrice
U che, in generale, sarà unitaria.
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