Appunti di Fisica Teorica - INFN

Clifford di dimensione d = 2 n + 1 ha invece due rappresentazioni irriducibili
inequivalenti di dimensione 2 n . Le due rappresentazioni, viste come rappresentazioni
dell’algebra di Fock fermionica di n oscillatori si distinguono
per come viene rappresentato sul vuoto di Fock (con un ±1) il rimanente
elemento hermitiano γ2n+1, che non appartiene all’agebra di Fock.
Una soluzione di (15.60) è S(P ) = γ 0 . Inoltre l’equazione (15.60) determina
S(P ) solo a meno di un fattore moltiplicativo scalare ηP , la parità
intrinseca. Questo fattore deve soddisfare la condizione
Dunque
η 2 P = P 2 = ±1 ⇒ ηP = ±1 oppure ± i (15.61)
S(P ) = ηP γ 0
Veniamo all’operazione coniugazione di carica, che agisce secondo
(15.62)
C : ψ(x) → ψ c (x) = C ψ ∗ (x) (15.63)
La condizione che ψ c (x) soddisfi l’equazione di Dirac porta all’equazione
C
i C −1 γ µ
C ∂µ − m ψ ∗
(x) = C −i (γ µ ) ∗
∂µ − m ψ ∗ (x) = 0 (15.64)
cioè alla condizione
C −1 γ µ C = −(γ µ ) ∗
(15.65)
Ancora una volta, l’esistenza di tale matrice è assicurata dall’unicità della
rappresentazione irriducibile dell’algebra di Clifford in 4 dimensioni. Anche
(15.65) definisce C solo a meno di un fattore scalare moltiplicativo. Abbiamo
visto che nella rappresentazione spinoriale possiamo prendere C = i γ 2 .
Prendiamo ora la complessa coniugata della (15.60). Otteniamo
da cui
P µ ν (γ ν ) ∗ = (S ∗ (P )) −1 (γ µ ) ∗ S ∗ (P ) = −(C S ∗ (P )) −1 (γ µ ) ∗ C S ∗ (P )
= −P µ ν C −1 γ ν C (15.66)
(C S ∗ (P ) C −1 ) −1 (γ µ ) ∗ C S ∗ (P ) C −1 = P µ ν γ ν
Ma, per quanto detto sopra, questo implica che
(15.67)
S ∗ (P ) = λ C −1 S(P ) C (15.68)
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