Appunti di Fisica Teorica - INFN

momento k e polarizzazione ɛα, con α = 1, 2 e ɛα · k = 0. Vogliamo calcolare
la probabilità del processo A ∗ → A + γ come funzione dell’impulso k del
fotone γ.
L’Hamiltoniana d’interazione tra campo elettromagnetico e materia al
primo ordine nella costante di accoppiamento e è
HI = 1
c A · j (7.1)
dove A è il potenziale vettore (nel gauge di Coulomb ∇ · A = 0) e j è la
corrente associata alla materia.
Per A partiamo dall’espressione seconda quantizzata:
A(x, t = 0) = c 1/2
d 3 k
(2ωk) 1/2
ɛ k α
(2π) 3/2
e ik·x Ak α + e −i
k·x †
A k α
Si tenga presente che la scelta delle funzioni d’onda fotoniche
ψ k α (x) = ɛ k α
(2π) 3/2 ei k·x
di singola particella nell’ Eq. (7.2) corrisponde alla normalizzazione
(ψ k α , ψ k ′ β ) = δ( k − k ′ )δα,β
(7.2)
(7.3)
(7.4)
La probabilità di transizione per unità di tempo dallo stato i allo stato
f per effetto dell’interazione (perturbazione) HI è data al primo ordine in
teoria delle perturbazioni dalla formula
dPi→f = 2π
|〈f|HI|i〉| 2 δ(Ef − Ei)dν (7.5)
dove dν è la densità di stati finali. Nel nostro caso Ef = EA+ωk e Ei = EA ∗,
e
dν = d 3 k = k 2 dkdΩ (7.6)
dove dΩ = dφdθ sin θ è l’elemento di angolo solido.
NOTA (1) SULLA NORMALIZZAZIONE DEL CAMPO FOTONICO:
Un’altra scelta consueta (cfr. Landau) per la normalizzazione delle funzioni
d’onda di singola particella è quella per cui (ψ k α , ψ k ′ β ) = (2π) 3 δ( k −
27