Appunti di Fisica Teorica - INFN

=
=
=
k>kF
k>kF
k>kF
E(k)a †
k σ a k σ +
k≤kF
E(k)a †
k σ a k σ −
k≤kF
E(k)a †
k σ a k σ −
k≤kF
dove abbiamo definito l’energia di Fermi
EF =
k≤kF ,σ
E(k)ã − k,−σ ã †
− k,−σ
E(k)ã †
k σ ã k σ +
k≤kF ,σ
E(k)ã †
k σ ã k σ + EF
che è l’energia dello stato fondamentale. Dunque
H − EF =
(E(k) − E(kF ))a †
a
k σ k σ +
k>kF
+E(kF )[
k>kF
k>kF
a †
k σ a k σ −
E(k) =
(4.10)
E(k) (4.11)
k≤kF
k≤kF
L’operatore corrispondente al numero di particelle è
ˆN =
a †
a
k σ k σ +
= [
k>kF
= [
k>kF
k≤kF
a †
k σ a k σ −
k≤kF
a †
k σ a k σ −
k≤kF
ã k σ ã †
k σ
(E(kF ) − E(k))ã †
k σ ã k σ
ã †
k σ ã k σ ] (4.12)
ã †
k σ ã k σ ] +
Pertanto l’energia diventa
H − EF =
(E(k) − E(kF ))a †
a
k σ k σ +
k>kF
k≤kF ,σ
1
ã †
k σ ã k σ ] + N (4.13)
k≤kF
(E(kF ) − E(k))ã †
k σ ã k σ
+E(kF )[ ˆ N − N] (4.14)
ed il termine tra parentesi quadre è nullo nel settore dello spazio di Fock con
numero fissato di particelle. La carica del sistema si scrive invece:
ˆQ =
k>kF
=
k>kF
ea †
k σ a k σ −
k≤kF
ea †
k σ a k σ −
17
k≤kF
eã †
k σ ã k σ +
k≤kF ,σ
eã †
k σ ã k σ + e N (4.15)
e