Appunti di Fisica Teorica - INFN

in un formalismo integralmente di seconda quantizzazione dovremmo pertanto
a questo punto calcolare l’elemento di matrice
〈A|j( k)|A ∗ 〉
della trasformata di Fourier j( k) = d 3 xj(x) e −i k·x dell’operatore corrente.
Nel seguito faremo l’ipotesi che l’interazione tra il fotone e l’atomo avvenga
attraverso l’interazione con un singolo elettrone (consideriamo cioè il
caso in cui la transizione A ∗ → A corrisponda ad un elettrone che passi
da un livello eccitato ad un livello piú basso). Supponiamo inoltre che il
resto dell’atomo sia molto pesante, cioè che l’energia del nucleo sia molto
maggiore rispetto a quella del fotone emesso e che il l’elettrone rimanga nonrelativistico
e possa quindi essere correttamente descritto in un formalismo
di prima quantizzazione. In conclusione l’elemento di matrice della corrente
che dobbiamo calcolare è:
〈A|j|A ∗
〉 =
d 3 x ¯ ΨA(x)j(x) ΨA ∗(x) e−i k·x = e
m
aBohr
d 3 x ¯ ΨA(x)p ΨA ∗(x) e−i k·x
(7.10)
dove abbiamo preso j = ev = e
quantizzazione) dell’elettrone.
p come operatore di corrente (in prima
m
Discutiamo i limiti di validità di questa approssimazione e la possibilità di
semplificare ulterioremente il calcolo dell’elemento di matrice in (7.10). Un
elettrone atomico che si trovi in livelli non troppo alti ha energie dell’ordine
di
E ∼ e2
∼ e4m 2 ∼ α2mc 2
dove α ≡ e2
c è la costante di struttura fine e aBohr = 2
me2 ∼ h 1 è il raggio di
mc α
Bohr. Questo giustifica il trattamento non-relativistico dell’elettrone. Inoltre
la lunghezza d’onda del fotone emesso è dell’ordine di λ = hc
E ∼ h 1
mc α2 aBohr
∼
1 . In conclusione
α
λ
∼ 1
>> 1
α
aBohr
Pertanto, l’argomento k · x dell’esponenziale nell’ Eq. (7.10) è molto minore
di 1 per i valori di x per i quali le funzioni d’onda sono significativamente
diverse da zero. In questa situazione è giustificata l’approssimazione di dipolo
che consiste nel prendere e −i k·x ∼ 1 nella formula (7.10):
〈A|j|A ∗ 〉dipolo
= e
m
d 3 x ¯ ie
ΨA(x)p ΨA∗(x) =
29
d 3 x ¯ ΨA(x)[H0, x] ΨA ∗(x)