Appunti di Fisica Teorica - INFN

precisamente, sono comprese tra ɛk e ɛk+1 se ɛk > ɛ0, mentre sono comprese
tra ɛk e ɛk−1 se ɛk < ɛ0.
Da questa discussione segue che nel limite in cui lo spettro discreto diventa
una banda continua gli autovalori Ek tendono ad assumere valori molto vicini
a ɛk. Riscriviamo pertanto l’equazione (8.7) come
g 2 q
Eq − ɛq
= (Eq − ɛ0) −
g 2 k
Eq − ɛk
k=q
Possiamo sostituire nel membro di destra Eq ≈ ɛq e ottenere
Eq − ɛq ≈
mentre per il livello E0 otteniamo
g 2 q
(ɛq − ɛ0) −
k=q
E0 − ɛ0 ≈
k
g 2 k
ɛ0 − ɛk
g 2 k
ɛq−ɛk
(8.15)
(8.16)
(8.17)
Nel limite continuo dobbiamo trasformare le somme con integrali con la
precauzione di separare i termini nelle somme che hanno dei poli: se k β la
relazione (8.6) diventa
ma per k = β otteniamo
L’equazione per R0β diventa
Introducendo
abbiamo
R0β = (Eβ − ɛβ)
|R0β| −2 = 1 +
gβ
∂ɛk
∂k
∂Ek
∂k
Rkβ = − gk R0β
ɛk − ɛβ
Rββ = − gβ R0β
ɛβ − Eβ
=
kβ
g2 k
+
(ɛk − ɛβ) 2
∂Ek
∂ɛk =
∂Ek
∂k
∂ɛk
∂k
gβ
(ɛβ − ɛ0) −
k=β
33
g 2 β
(ɛk − Eβ) 2
g 2 k
ɛβ−ɛk
∂ɛk
∂k
∂Ek
∂k
(8.18)
(8.19)
(8.20)
(8.21)
(8.22)