Appunti di Fisica Teorica - INFN

La matrice UP deve pertanto soddisfare le equazioni
U −1
P γ0 UP = γ 0
Una soluzione di queste relazioni è
dove a 2 = ±1 a seconda che U 2 P
UP = a γ 0
U −1
P γ UP = −γ (18.6)
(18.7)
= ±1 Notiamo che se prendiamo p = 0 nella
(18.4) e teniamo conto della (18.7), otteniamo
UP u(0, σ) = a γ 0 u(0, σ) = η u(0, σ) (18.8)
D’altra parte l’equazione di Dirac implica
Pertanto
γ 0 u(0, σ) = u(0, σ) (18.9)
UP = η γ 0
(18.10)
Notiamo che usualmente si prende P 2 = −1 (affinché il campo coniugato di
carica abbia le stesse proprietà di trasformazione sotto parità). Pertanto la
scelta usuale è
UP = ±i γ 0
(18.11)
18.1 Derivazione alternativa di (18.11)
Prendiamo come vettori di polarizzazione quelli di spin definito nel sistema
di riposo:
u(p, σ) = S(L(p)) u(0, σ) (18.12)
Sostituendo questa relazione nella (18.4) che definisce l’azione della parità
sui vettori di polarizzazione otteniamo l’equazione che determina UP
od, equivalentemente
UP
UP S(L(p)) u(0, σ) = η S(L(Pp)) u(0, σ) (18.13)
e − i
2 θ σ2 e 1
2 ϑp σ3 e i
2 θ σ2 wσ
i
− e 2 θ σ2 − e 1
2 ϑp σ3
i
e 2 θ σ2
wσ
= η
85
e − i
2 (θ+π) σ2 e 1
2 ϑp σ3 e i
2 (θ+π) σ2 wσ
i
− e 2 (θ+π) σ2 − e 1
2 ϑp σ3
i
e 2 (θ+π) σ2
wσ
(18.14)