Appunti di Fisica Teorica - INFN

Dunque
〈 i
−
k2|e ˆ H(t2−t1)
| k1〉 ≈ e
i ∆tp2
− 2m
dx e −ik·x −
e i R ∞
−∞dτ V (x+ m p τ) (24.21)
Sostituendo quest’espressione nella formula (24.4) per l’elemento di matrice
S otteniamo
3 dk2 dk1 S iconale
21 = lim
t 2 →+∞
t 1 →−∞
× e
i ∆tp2
− 2m
= lim
t 2 →+∞
×
t 1 →−∞
(2π) 3
−i t1
dove, nella fase dell’esponenziale e
φ∗2( k2) φ1(
−i t1 k1) e k 2 1
i t2
2m e k 2 2
2m ×
dx e −ik·x −
e i R ∞
−∞dτ V (x+ m p τ) =
3 d k dp
(2π) 3 φ∗ 2(p + k/2) φ1(p − k/2) e i (t1+t2) k·p
2m ×
dx e −ik·x −
e i R ∞
−∞dτ V (x+ m p τ) =
(24.22)
k 2 1
+i t2
2m k 2 2
2m abbiamo trascurato k 2 rispet-
to a p 2 .
Decomponiamo il vettore x in una parte lungo p ed in una ortogonale
dove ˆz ≡ p
p
−∞
x = ρ + x · ˆz ˆz (24.23)
è il vettore unitario lungo p (p ≡ |p|)) e ρ · p = 0. L’integrale
(24.19) dipende solo da ρ
∞
∞
x · p τ m
dτ V (ρ + p( + )) = dz V (ρ + ˆz z) (24.24)
p 2 m p
La formula (24.22) si riscrive dunque come segue
S iconale
21 = lim
t 2 →+∞
×
t 1 →−∞
−∞
3 d k dp
(2π) 3 φ∗ 2(p + k/2) φ1(p − k/2) e i (t1+t2) k·p
2m ×
d 2 ρ (2π) δ( k · ˆz) e −ik·ρ −
e im
2 R ∞
p −∞dzV (ρ+ˆz z) =
3 dk dp
=
(2π) 2 φ∗2(p + k/2) φ1(p − k/2) δ(kz) ×
× d 2 ρ e −ik·ρ −
e im
2 R ∞
p −∞dzV (ρ+ˆz z)
116
(24.25)