Appunti di Fisica Teorica - INFN

Tenendo conto che
e
deduciamo che
e − i
2 (θ+π) σ2 e 1
2 ϑp σ3 e i
2 (θ+π) σ2 wσ
i
− e 2 (θ+π) σ2 − e 1
2 ϑp σ3
i
e 2 (θ+π) σ2
wσ
Eq. (18.14) implica pertanto che
in accordo con (18.10).
UP = η
19 Matrici densità
Introduciamo le quantità
(p) ≡
N (+)
AB
σ
i
−
e 2 π σ2 = −i σ2
σ2 σ3 σ2 = −σ3
=
e − i
2 θ σ2 e − 1
2 ϑp σ3 e i
2 θ σ2 wσ
0 1
= η γ
1 0
0
uA(p, σ) u ∗ B(p, σ) N (−)
AB
i
− e 2 θ σ2
1
e 2 ϑp σ3
i
e 2 θ σ2
wσ
(18.15)
(18.16)
(18.17)
(18.18)
(p) ≡ vA(p, σ) v ∗ B(p, σ) (19.1)
dove uA(p, σ) e vA(p, σ) sono i vettori di polarizzazione associati, rispettivamente,
alle soluzioni a frequenza positiva e negativa:
ψ
(p,σ) (+)
A
(x) =
uA(p, σ)
(2 π) 3/2 p x
e−i
(2 ωp) 1/2
ψ
(p,σ) (−)
A
σ
(x) =
vA(p, σ)
(2 π) 3/2 p x
ei
(2 ωp) 1/2
(19.2)
Denotiamo con KAB(p) (dove p è il quadrivettore p = (p 0 , p)) la trasformata
di Fourier dell’operatore d’onda: i vettori di polarizzazione soddisfano allora
alle equazioni lineari
KAB(p) uB(p, σ)| p0 =ωp =
KAB(−p) vB(p, σ)| p0 =ωp = 0 (19.3)
B
Le matrici densità (19.1) soddisfano pertanto le relazioni
KAB(p) N (+)
BC (p)| p0
=ωp = N (+)
AB (p) K∗ CB(p)| p0 =ωp = 0
B
B
B
KAB(−p) N (−)
BC (p)| p 0 =ωp
B
=
86
B
N (−)
AB (p) K∗ CB(−p)| p 0 =ωp = 0(19.4)