Appunti di Fisica Teorica - INFN

e
h0 = g(0)n
2
N −
k=0
E k sinh(χ k ) 2
(9.15)
Dividendo la prima equazione in (9.14) per la seconda otteniamo l’equazione
cercata per χk e 4χk = 1 + 2g(k)n
(9.16)
Sottraendo (1/2 volte) la prima equazione in (9.14) dalla seconda otteniamo
invece la relazione di dispersione delle quasi-particelle associate ai nuovi
distruttori e creatori A k , A †
k :
E k = e 2χ k ɛ k = ɛ k
ɛ k
2g(k) n
1 +
ɛ k
(9.17)
Assumiamo che g(k) → 0 per k >> 1 dove a è il raggio (una lunghezza)
a
caratteristico dell’interazione tra i bosoni. Sia inoltre g(k) → g0 per k → 0,
dove g0 è una costante. Allora per grandi k la legge di dispersione diventa
quella libera
a
(9.18)
mentre per k piccoli la legge di dispersione diventa quella caratteristica dei
fononi (lineare in k)
g0n
Ek → k
m
per
1
k ≪
a
(9.19)
E k → ɛ k per k >> 1
Calcoliamo ora il valore di N k sullo stato fondamentale del sistema |Ω〉
definito dalla condizione: A k |Ω〉 = 0.
Pertanto
〈Ω|N k |Ω〉 = 〈Ω|a †
k a k |Ω〉
= 〈Ω|(cosh(χ k ) A †
k − sinh(χ k ) A − k )
×(cosh(χ k ) A k − sinh(χ k ) A †
− k )|Ω〉
= sinh(χ k ) 2 〈Ω|A − k A †
− k |Ω〉 = sinh(χ k ) 2
〈Ω|Nk |Ω〉 → 0 per k >> 1
√
a
g0 n m
〈Ω|Nk |Ω〉 →
per k ≪
2k
1
a
37
(9.20)
(9.21)