Appunti di Fisica Teorica - INFN
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Deriviamo lo stesso risultato in una maniera <strong>di</strong>versa, che passa per il<br />
calcolo esplicito dei caratteri χN(z) delle rappresentazioni a livello N. La<br />
(3.3) dà<br />
∞ ∞ ∞<br />
Zbosoni(q, z) = (zq) i (q/z) j q k ∞ ∞ ∞<br />
=<br />
q i+j+k z i−j<br />
(3.17)<br />
Pertanto<br />
i=0<br />
χ (bos)<br />
(z) =<br />
N<br />
j=0 k=0<br />
N N−i<br />
z i−j =<br />
i=0<br />
j=0<br />
z −N<br />
(1 − z) 2 (1 + z)<br />
N<br />
i=0<br />
i=0<br />
j=0 k=0<br />
i 1 − z−N−1+i<br />
z<br />
1 − z−1 = z<br />
N+1 1 − z 1 − z2(N+1)<br />
− z−N−1<br />
z − 1 1 − z 1 − z2 <br />
=<br />
z<br />
=<br />
−N<br />
(1 − z) 2 <br />
(1 + z)(z<br />
(1 + z)<br />
2N+2 − z N+1 ) + 1 − z 2N+2<br />
<br />
=<br />
<br />
=<br />
z 2N+3 − z N+1 − z N+2 <br />
+ 1 =<br />
= z−N (1 − z N+1 )(1 − z N+2 )<br />
(1 − z) 2 (1 + z)<br />
I numeri nN;j sono ottenuti pertanto calcolando gli integrali<br />
nN;j = 1<br />
<br />
dz<br />
2<br />
= 1<br />
<br />
dz (z − 1) (1 − z<br />
2 2πiz<br />
2j+1 )<br />
z1+j χN(z)<br />
= 1<br />
<br />
dz 1<br />
2 2πiz z1+j+N (z2j+1 − 1) (zN+1 − 1) (zN+2 − 1)<br />
(1 − z2 )<br />
= 1<br />
<br />
dz 1<br />
2 2πiz z1+j+N (1 − z2 <br />
)<br />
+z N+2 + z 2j+1 − z 2N+3 − z 2j+N+3 <br />
− 1 =<br />
= 1<br />
<br />
dz 1<br />
2 2πiz (1 − z2 <br />
z<br />
)<br />
j+N+3 − z j+1 + z −j +<br />
+z 1−j + z j−N − z N+2−j − z j+2 − z −N−j−1<br />
<br />
=<br />
= 1<br />
∞ dz<br />
<br />
z<br />
2 2πiz<br />
2k+j+N+3 − z 2k+j+1 + z 2k−j +<br />
2πiz (z1/2 − z −1/2 ) (z −(j+1/2) − z j+1/2 ) χN(z) =<br />
k=0<br />
13<br />
=<br />
z 2j+2N+4 − z 2j+N+2 + z N+1 +<br />
(3.18)