Appunti di Fisica Teorica - INFN

solo, integrabile. Per questa ragione la rappresentazione integrale (23.29)
è possibile solo per la differenza log λn(α) − log λn(α0) e non per ciascun
logaritmo separatamente.
Sostituendo (23.29) in Eq. (23.27) otteniamo una formula per il determinante
dell’operatore in termini della traccia del suo esponenziale:
log
det D(α)
det D(α0)
∞
dT
= −
0 T
n
∞
= −
0
[e −λn(α) T − e −λn(α0) T ]
dT
T [ Tr e−D(α) T − Tr e −D(α0) T ] (23.31)
Determiniamo quali sono le condizioni per cui l’integrale rispetto a T che
appare nel secondo membro di questa equazione (23.31) sia convergente.
L’integrando tende per T → 0 all’espressione
− 1
T [ Tr e−D(α) T − Tr e −D(α0) T ] → [ TrD(α) − Tr D(α0)] (23.32)
Pertanto l’integrale in Eq. (23.31) è convergente solo se la differenza di tracce
operatoriali nella (23.32) esiste. Spesso per gli operatori di interesse le tracce
in questione non sono ben definite: è utile in questo caso definire una versione
regolarizzata della formula (23.31)
∞
log detɛ D(α)
detɛ D(α0)
≡ −
ɛ
dT
T [ Tr e−D(α) T − Tr e −D(α0) T ] (23.33)
ed analizzare poi il limite ɛ → 0 per individuare il significato fisico della
divergenza corrispondente.
Problema: Calcolare det D(ω) ≡ det(− d2
dt2 + ω2 ) utilizzando la formula
(23.33) per t su un intervallo sull’asse reale di lunghezza L con L → ∞.
Calcoliamo per prima cosa la “funzione di partizione”
d2
−T (−
Tr e dt2 +ω2 )
=
L dk
2π e−T (k2 +ω 2 ) = L
2 √ π T
ɛ
e−T ω2
Pertanto dalla (23.33) otteniamo
log detɛ
∞
D(ω) dT L
= −
detɛ D(0) ɛ T 2 √
−T ω2
e − 1
π T
= − L
2 √ ∞
dT
π T 3/2
−T ω2
e − 1
104
(23.34)