Appunti di Fisica Teorica - INFN

L’integrale nel secondo membro della equazione precedente diverge logaritmicamente
per ɛ → 0 in quanto
1
T 3
2
e
e B
c T
e B
c T e B
− − e c
− 1
T
e −c2m2 T −1 e
→
3!
2 B2 2 c2 T + O(T 0 ) (23.57)
Riscriviamo pertanto la (23.56) aggiungendo e sottraendo il termine divergente
Seff(B) − Seff(0) e
=
V4
2 B2 16 · 3! π2 c2 2 ∞
ɛ c2 m2 dT
T e−T + (23.58)
∞
dT
−
ɛ 16π2 T 34 e B 2 c T
e B
e c T e B
− − e c T − 1 + e2 B2 2 T 2
3! c2
e −c2m2 T
e
= −
2 B2 16 · 3! π2 c2 ɛ
log
2 C +
∞
dT
−
ɛ 16 π2 4 T 3
e B 2 c T
e B
− e c T − 1 + e2 B2 2 T 2
3! c2
e −c2m2 T
e B
c T − e
dove C è una costante numerica. Definiamo allora l’azione effettiva rinormalizzata
S rin
eff (B)
V4
Seff(B) − Seff(0) e
≡ lim
+
ɛ→0 V4
2 B2 16 · 3! c2 ɛ
log = (23.59)
π2 C
∞
dT
= −
0 16 π2 3 T 3
e B 2 c T
e B
e c T e B
− − e c T − 1 + e2 B2 2 T 2
3! c2
e −c2m2 T
= − m4 c4 16 π2 3 ∞
dT
T 3
2 b T
eb T − e−b T − 1 + b2 T 2
e
3!
−T
0
dove abbiamo introdotto il parametro adimensionale
b ≡
e B
m 2 c 3
(23.60)
Il significato dell’azione rinormalizzata è il seguente. L’azione totale per unità
di volume quadridimensionale associata al campo magnetico costante è data
dalla somma dell’azione classica
S0 = 1
8 c π
d 4 x( E 2 − B 2 2 V4B
) = −
8 c π
108
(23.61)