Appunti di Fisica Teorica - INFN

Passiamo agli operatori xi nella pittura di Heisenberg: poichè
abbiamo
xi(t) =
1
2
√
N q
Aq(t) = e −iωqt Aq(0) (6.39)
1
2 ωq m (ζ−qi e −iωqt Aq + ζ qi e iωqt A † q) (6.40)
Passiamo ora al limite continuo, definito da N → ∞, ∆ → 0, avendo
posto L = N∆, Lρ = Nm, kL = τN con τ, ρ e L che restano finiti nel
limite. xi(t) diventa un campo x(σ, t), con σ/L ≈ i , dove σ (0 ≤ σ ≤ L) è
N
la coordinata sulla corda composta dagli ioni infinitamente densi. Nel limite
τ 2πq
ωq → ≡ ωq (6.41)
ρ L
e
x(σ, t) =
ρL
q
1
(e
2 ωq
2πiσ
L e −iωqt 2πiσ
−
Aq + e L e iωqt A † q) (6.42)
(mettere al posto la consistenza della definizione di ξq e mandare q → −q.)
Poiché pi = m dxi
dt
densità di impulso π(σ)
pi
→ π(σ) (6.43)
∆
L’Hamiltoniana del sistema continuo diventa in definitiva:
H =
L
0
dσ 1
2 p(σ) N
∆ 2Lρ
e la Lagrangiana
→ ρ∆ ∂x(σ,t)
∂t , dobbiamo, nel limite continuo, definire una
L = 1
2
1 τN
+
2 L (x′ (σ)) 2 ∆ 2
= 1
2
L
0
∂x(σ, t)
dσ ρ
∂t
2
L
0
2 π(σ)
dσ
ρ + τ (x′ (σ)) 2
− τ (x ′ (σ)) 2
7 Radiazione di Dipolo: Emissione
(6.44)
(6.45)
Indichiamo con |A ∗ 〉 lo stato eccitato di un atomo, e con |A; k, α〉 lo stato
in cui l’atomo è passato ad un livello piú basso emettendo un fotone di
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