Appunti di Fisica Teorica - INFN

Le relazioni (19.4) insieme alle condizioni di normalizzazione (19.5-19.6)
implicano
B
B
KAB(±p) N (±)
BC (p) = A± (p 2 − m 2 ) ηAC
N (±)
CB (p)K∗ AB (±p) = A ∗ ± (p 2 − m 2 ) ηCA
(19.11)
dove ηAC è il tensore che si trasforma sotto trasformazioni di Lorentz come il
prodotto tensore della rappresentazione S(Λ)AB associata all’indice A e della
sua complessa coniugata. Queste equazioni implicano che le matrici densità
sono (essenzialmente) proporzionali alle matrici inverse degli opera-
N (±)
AB
tori d’onda KAB: la costante di normalizzazione A± può essere determinata
tenendo conto delle (19.9-19.10).
19.1 Matrici densità per vettori massivi
In questo caso l’operatore d’onda è
Kµν(p) = (p 2 − m 2 ) gµν − pµ pν
(19.12)
Sia N (±)
µν (p) un tensore, funzione del quadri-impulso p µ che, quando ristretto
a p 0 = ωp, coincide con la matrice densità N (±)
µν (p):
N (±)
µν (p)| p 0 =ωp = N (±)
µν (p) (19.13)
È chiaro che N (±) (p) è determinata dalla condizione (19.13) solo a meno di
termini proporzionali a p 2 − m 2 . Cerchiamo un N (±) (p) che soddisfi (19.11):
N (±)
La condizione (19.9) implica
per cui
µν (p) = A (gµν − pµ pν
) (19.14)
m2 A = −1 (19.15)
N (±)
µν (p) = pµ pν
m 2 − gµν (19.16)
Esercizio: Verificare la (19.16) partendo dalle espressioni esplicite per i vettori
di polarizzazione ɛµ(p, σ).
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