Appunti di Fisica Teorica - INFN

Dobbiamo dunque determinare ˙¯x(T ) e ˙¯x(0) in termini di ¯x(0) = x1 e ¯x(T ) =
x2. La soluzione generica delle equazioni del moto si scrive
Dunque
dove abbiamo posto
¯x(t) = A e iω t −iω t
+ B e
x1 = A + B x2 = A z + B z ∗
iω T
z(T ) ≡ e
Risolvendo (23.12) in termini di A e B otteniamo
A 1
=
B (z∗
∗ z −1 x1
− z) −z 1
Da (23.11) otteniamo anche
˙¯x(0) 1 −1
˙¯x(T
= iω
) z −z∗
A
B
iω
=
(z∗
1 −1
− z) z −z∗
∗ z −1 x1
−z 1 x2
iω
=
(z∗
∗ (z + z ) −2
− z) −2 −(z + z∗
x1
)
x2
x2
(23.11)
(23.12)
(23.13)
(23.14)
(23.15)
Pertanto l’azione valutata sulla soluzione classica si scrive
S[¯x(t), ˙¯x(t)] = m
2 ( x1
−1 0 ˙¯x(0)
x2 )
0 1 ˙¯x(T
=
)
= i ω m
2(z∗ − z) ( x1
∗ −1 0 z + z −2
x2 )
0 1 −2 −z − z∗
x1
x2
= i ω m
2(z − z∗ ) ( x1
∗ z + z −2
x2 )
2 z + z∗
x1
x2
= i ω m
2(z − z∗
(z + z
)
∗ )(x 2 1 + x 2
2) − 4x1 x2
(23.16)
Sostituendo questa espressione nella (23.9), prendendo x1
integrando rispetto ad x otteniamo
= x2 = x ed
i
−
dx〈x|e T ˆ H
|x〉 =
1
dxe − ω m (z+z∗−2) (z−z∗ x )
2
[det( d2
dt2 + ω2 )] 1
2
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