Appunti di Fisica Teorica - INFN

coordinate normali
xj = w (0)
j ξ0 +
q∈I
= 1
√ N ξ0 +
Le relazione inverse sono
ξ0 = 1
√ N
ξ + q =
i
ξ − q =
i
2
N
j
w (q)
+,j ξ+ q + w (q)
−,j ξ− q
xj
q∈I
w (q)
+,j xj =
w (q)
−,j xj
2
=
N
cos 2πjq
N ξ+ q + sin 2πjq
N ξ− q
j
(6.13)
(6.14)
(6.15)
(6.16)
2
cos
N
2πjq
N xj (6.17)
j
sin 2πjq
N xj (6.18)
(6.19)
Denotiamo con πi momenti coniugati alle coordinate normali ξi: i πi sono
legati ai momenti pi dalle stessa matrice R che lega le ξi con le xi. In termini
dei momenti e delle coordinate normali l’Hamiltoniana diventa
H = π2
0 πq,α
+
2m
q∈I, α=±
2 1
+
2m 2 k λq ξq, α 2
Passiamo agli operatori di creazione e distruzione
dove abbiamo posto
(ω2 = k
m
frequenze ωq
aq,± =
(6.20)
1
ωqm (π± q + i m ωq ξ ± q ) (6.21)
ωq = 2ω sin πq
N
(6.22)
). L’Hamiltoniana diventa quella di un insieme di oscillatori di
H = π2
0
+ ωq(a
2m
q∈I, α=±
† q,αaq,α + 1
) (6.23)
2
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