Appunti di Fisica Teorica - INFN

Le condizioni di normalizzazione sulle funzioni d’onda (19.2)
〈ψ (p,σ) (+) , ψ (p′ ,σ ′ ) (+) 〉 = δ (3) (p − p ′ ) δσ,σ ′
〈ψ (p,σ) (−) , ψ (p′ ,σ ′ ) (−) 〉 = −(−1) F δ (3) (p − p ′ ) δσ,σ ′,
dove (−1) F = +1 ((−1) F = −1) per spin interi (semi-interi), determinano
delle condizioni di normalizzazione per i vettori di polarizzazione. Per i campi
con spin intero
u ∗ A M AB uB =
A,B
A,B
mentre per i campi con spin semi-intero
u ∗ A M AB uB =
A,B
A,B
v ∗ A M AB vB = 1 (19.5)
v ∗ A M AB vB = 2 ωp
(19.6)
dove M AB è una matrice che rende le (19.5- 19.6) invarianti (o covarianti) di
Lorentz. Per esempio, nel caso del campo vettoriale massivo, indicando con
ɛµ(p, σ) i vettori di polarizzazione delle soluzioni a frequenza positiva e con
ɛ ∗ µ(p, σ) quelli delle soluzioni a frequenza negativa, la (19.5) diventa
ɛ ∗ µ(−g µν ) ɛν = 1 (19.7)
cioè la M AB deve essere identificata con la matrice g µν . Per il campo di Dirac
invece abbiamo
u ∗ αuα =
α
α
v ∗ αvα = 2 ωp
(19.8)
cioè M αβ = δ αβ (per cui ambo i membri dell’equazione (19.8) si trasformano
come la componente temporale di un vettore).
Le condizioni di normalizzazione (19.5-19.6) per i vettori di polarizzazione
implicano delle condizioni analoghe per le matrici densità
A,B
per particelle (massive) con spin J intero, e
A,B
per particelle (massive) con spin J semi-intero.
N (±)
AB M BA = (2J + 1) (19.9)
N (±)
AB M BA = 2 ωp(2J + 1) (19.10)
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