Appunti di Fisica Teorica - INFN

con ψ(x) ∈ H (1) , la forma bilineare su H (1) associata alla corrente conservata
j µ (x) relativa alla simmetria
ψ(x) → e i α ψ(x) ψ † (x) → e −i α ψ † (x) (14.2)
Per esempio nel caso del campo scalare di Klein-Gordon
〈ψ, ψ〉scalare = i
nel caso del campo di Weyl (left-handed)
〈ψ, ψ〉weyl =
d
t costante
3 x [ψ ∗ (t, x) ∂t ψ(t, x) − ∂t ψ ∗ (t, x) ψ(t, x)], (14.3)
d
t costante
3 x ψ † (t, x) ¯σ 0 ψ(t, x) =
e nel caso di un campo di Dirac
〈ψ, ψ〉dirac =
d
t costante
3 x ψ † (t, x) ψ(t, x) (14.4)
d
t costante
3 x ¯ ψ(t, x) γ 0 ψ(t, x) (14.5)
Data una soluzione ψ(x) ∈ H (1) delle equazioni relativitiche, sia
ψ(x) = ψ (+) (x) + ψ (−) (x) ≡
ap, σ ψ (+)
(x) (14.6)
p, σ
p, σ (x) + b∗p, σ ψ (−)
p, σ
con ψ (±) (x) ∈ H (±) , la sua decomposizione in soluzioni ad energia positiva e
negativa. L’osservazione importante è che la forma bilineare 〈 , 〉 invariante
è indefinita nel caso di spin intero
〈ψ, ψ〉scalare = 〈ψ (+) , ψ (+) 〉scalare + 〈ψ (−) , ψ (−) 〉scalare =
=
p
a ∗ p ap − bp b ∗ p
mentre è definita positiva nel caso di spin semi-intero:
〈ψ, ψ〉weyl = 〈ψ (+) , ψ (+) 〉weyl + 〈ψ (−) , ψ (−) 〉weyl =
=
p
a ∗ p ap + bp b ∗ p
〈ψ, ψ〉dirac = 〈ψ (+) , ψ (+) 〉dirac + 〈ψ (−) , ψ (−) 〉dirac =
=
p σ
a ∗ p σ ap σ + bpσ b ∗ p σ
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(14.7)
(14.8)
(14.9)