Appunti di Fisica Teorica - INFN

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Pertanto ˆR(R ˆp) −1 R ˆ R(ˆp) = Rz(θ(R, p)) (13.24) dove Rz(θ) è una rotazione spaziale lungo l’asse delle z. Quindi L(R p) −1 R L(p) = ˆ R(R p) Bz(|p|) −1 Rz(θ(R, p)) Bz(|p|) ˆ R(ˆp) −1 Le trasformazioni di Lorentz speciali lungo z e le rotazioni spaziali lungo z commutato: Bz(ω) Rz(θ) = Rz(θ) Bz(ω) (13.25) Dunque L(R p) −1 R L(p) = ˆ R(R p) Rz(θ(R, p)) ˆ R(ˆp) −1 = R (13.26) 13.1.1 La base del sistema di riposo Indichiamo con Rz(θ) il sottogruppo ad un parametro di W¯p corrispondente alle rotazioni lungo l’asse delle z. Scegliamo come base di H¯p la base degli autostati di Rz(θ) U(Rz(θ))|¯p, σ〉 = e i θ σ |¯p, σ〉 (13.27) Definiamo infine una base di Hp con p generico nel modo seguente Questa scelta è equivalente a porre |p, σ〉 = U(L(p))|¯p, σ〉 (13.28) Nσσ ′(L(p), ¯p) = δσσ ′ (13.29) In questa base l’azione delle trasformazioni di Lorentz omogenee si scrive U(Λ) |p, σ〉 = Nσ ′ σ(W (Λ, p), ¯p) |Λ p, σ ′ 〉 (13.30) Una rappresentazione unitaria ed irriducibile sarà pertanto caratterizzata da m2 , dal segno di p0 e da uno spin j. Indicheremo lo spazio di questa rappresentazione con H ± m,j . L’azione delle trasformazione di Lorentz omogenea diventa U(Λ) |p, σ〉 = D (j) σ ′ σ (W (Λ, p) |Λ p, σ′ 〉 (13.31) dove D (j) σ ′ σ (R), con σ, σ′ = 1, . . . , 2 j+1, sono le matrici della rappresentazione di spin j del momento angolare, e D (j) σ ′ σ (Rz(θ)) = δσ ′ i θ σ σ e 56 (13.32)
13.1.2 La base dell’elicità Sia Rˆp(θ) il sottogruppo ad un parametro delle rotazioni lungo l’asse ˆp = p |p| . La base ψp,λcorrispondente agli stati di elicità definita è U(Rˆp(θ)) ψp,λ = e i λ θ ψp,λ (13.33) Questa equazione è compatibile con la forma generale (13.3) dell’azione delle trasformazioni di Lorentz in quanto Scriviamo Rˆp(θ) p = p (13.34) ψp,λ = aσλ(p) |p, σ〉 (13.35) dove |p, σ〉 è la base introdotta nella sottosezione precedente degli stati di momento angolare definito nel sistema di riposo. Dunque da cui aσλ(p) U(Rˆp(θ)) |p, σ〉 = aσλ(p) Nσ ′ σ(W (Rˆp(θ), p), ¯p) |p, σ ′ 〉 = = e i λ θ aσ ′ λ(p) |p, σ ′ 〉 (13.36) Nσ ′ σ(W (Rˆp(θ), p), ¯p) aσλ(p) = e i λ θ aσ ′ λ(p) (13.37) Con la scelta (13.18) per L(p) quest’equazione diventa Possiamo scrivere D (j) σ ′ σ (Rˆp(θ)) aσλ(p) = e i λ θ aσ ′ λ(p) (13.38) Rˆp(θ) = R(ˆp) Rˆz(θ) R(ˆp) −1 Pertanto, l’equazione che definisce la base dell’elicità diventa D (j) (Rˆz(θ)) D (j) (R(ˆp)) −1 aλ(p) i λ θ = e D (j) (R(ˆp)) −1 aλ(p) (13.39) dove le somme sugli indici σ, σ ′ sono catturate dalla notazione matriciale. Dunque D (j) (R(ˆp)) −1 aλ(p) = aλ(˜p) (13.40) dove ˜p = (ωp, 0, 0, |p|) (13.41) 57
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In questo caso possiamo supporre ch
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dove kz è la componente di k lungo
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