Appunti di Fisica Teorica - INFN

Tornando alle equivalenze (16.9, queste implicano che
D’altra parte
1
, 0 ⊕
2
S t (Λ −1 ) ⊗ S(Λ) ∼
0, 1
2
⊗
1
, 0 ⊕ 0,
2 1
2
⊗
1
, 0 ⊕ 0,
2 1
2
(16.15)
1
, 0 ⊕ 0,
2 1
1 1
= 2 , ⊕(1, 0)⊕(0, 1)⊕2 (0, 0) (16.16)
2 2 2
Le matrici gamma vanno pertanto pensate come gli operatori di “intrallacciamento”
(interwining operators) tra lo spazio sedici-dimensionale
della rappresentazione S t (Λ −1 ) ⊗ S(Λ) e quello della quadri-dimensionale
rappresentazione vettoriale: in altre parole le γ definiscono degli operatori
lineari
γ : v αβ → v µ = γ µ
αβ vαβ
(16.17)
dove α, β che corrono sulla spinoriale di Dirac e µ sulla vettoriale, che commutano
con l’azione del gruppo di Lorentz nello spazio della spinoriale e
della vettoriale. La relazione (16.3) esprime il fatto che, come risulta dalla
decomposizione (16.16), la rappresentazione S t (Λ −1 ) ⊗ S(Λ) contiene una
rappresentazione vettoriale.
La relazione (16.3) implica inoltre che
ed in particolare
S(Λ) −1 γ µ γ ν S(Λ) = Λ µ σ Λ ν λ γ σ γ λ
(16.18)
S(Λ) −1 {γ µ γ ν } S(Λ) = Λ µ σ Λ ν λ {γ σ γ λ } (16.19)
dove {, } indica la parte simmetrica. D’altra parte il prodotto tensore di due
vettoriali si decompone come segue
1
2
1
, ⊗
2
1
2
1
, = (1, 1) ⊕ (0, 0)
2
s
⊕
(1, 0) ⊕ (0, 1)
a
(16.20)
dove gli indici s e a indicano rispettivamente la parte simmetrica e quella an-
tisimmetrica. La relazione (16.19) implica che l’operatore T µν
αβ ≡ {γµ γ ν }αβ
connette una rappresentazione contenuta nella parte simmetrica del prodotto
di due vettoriali con una rappresentazione contenuta nel prodotto di due
spinori di Dirac. La parte simmetrica del prodotto di due vettoriali contiene
la (1, 1) e la (0, 0), secondo la (16.20). Ma la (1, 1) non appare nel
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