Appunti di Fisica Teorica - INFN

Verifichiamo la correttezza dell’ Eq. (24.7) nel caso banale in cui ˆ H = ˆ H0.
In questo caso
i
−
〈x2 e ˆ
H0(t2−t1) dk |x1〉 =
m
=
2π i(t2 − t1)
Pertanto nel caso libero (24.7) diventa
S libero
21 = lim
t 2 →+∞
t 1 →−∞
= lim
t 2 →+∞
t 1 →−∞
(2π) 3 e−i k 2
2m (t2−t1)+i k(x2−x1) =
3/2
e i m (x 2 −x 1 )2
2(t 2 −t 1 ) (24.9)
4 t1t2
m2
3/2
m
3/2 ×
e
2π i (t2 − t1)
i (k 2t2 −k 1t1 ) 2
2m(t2−t1 ) =
t1t23
3/2
d
2π i m (t2 − t1)
k2 dk1 φ ∗ 2( k2) φ1( k1) ×
dk2 dk1 φ ∗ 2( k2) φ1(
i t1 k1) e k 2 1
−i t2
2m e k 2 2
2m ×
× e i t1t2 k 2 1 +t2t1 k 2 2 −2k 2 · k 1t1 t2 2m(t2−t1 ) =
t1t2
= lim (
t2→+∞ t1→−∞ 3
2π i m (t2 − t1) )3/2
dk2 dk1 φ ∗ 2( k2) φ1( k1) e i t1t2 (k 1−k 2 ) 2
2m(t2−t1 ) =
= 3
dk2 dk1 φ ∗ 2( k2) φ1( k1) δ( k1 − k2) = 〈ψ2|ψ1〉 (24.10)
24.1 L’approssimazione iconale
Partiamo dall’espressione l’ elemento di matrice dell’operatore di evoluzione
che appare in Eq. (24.2)
Poniamo
〈 i
−
k2|e ˆ
H(t2−t1)
| k1〉 ≡
dx2 dx1 e ik1·x1 −i
e i
k2·x2 −
〈x2|e ˆ H(t2−t1)
|x1〉 (24.11)
k ≡ p2 − p1
p ≡ p1 + p2
2
Cerchiamo un’approssimazione valida nel caso
p 2 >> k 2
114
(24.12)
(24.13)