Appunti di Fisica Teorica - INFN

4 Buche e Particelle
Le trasformazioni lineari
aα → ãα = U ∗ βαaβ + Vβαa †
β
a † α → ã † α = V ∗
βαaβ + Uβαa †
β
(4.1)
sono automorfismi delle relazioni di anticommutazione (1.12), e sono dette
canoniche, se le matrici U e V soddisfano le relazioni
U † U + V † V t = 1 U † V = − U † V t
(4.2)
Le trasformazioni canoniche con V = 0 corrispondono a cambi di base dello
spazio degli stati di singola particella H (1) . Queste trasformazioni canoniche
sono implementate sullo spazio di Fock HF da operatori unitari che
conservano il numero di particelle (cioè mandano H (N)
A in se stesso). Le
trasformazioni con V = 0 sono implementate da operatori (formalmente)
unitari che non conservano il numero di particelle e quindi non corrispondono
a trasformazioni canoniche di H (1) . Gli operatori (formalmente) unitari che
implementano queste trasformazioni non lasciano invariato il vuoto di Fock.
Consideriamo il caso in cui l’insieme degli indici α che labellano la base di
H (1) ammette un’involuzione ı che indicheremo come ı(α) = −α, con ı 2 . Per
esempio, per fermioni non-relativistici in 3 dimensioni, possiamo prendere
α ≡ ( k, σ). Le trasformazioni ( k, σ) → (− k, −σ), ( k, σ) → (− k, −σ), o
( k, σ) → ( k, −σ) sono involuzioni di questo tipo. In questo contesto, una
classe interessante di trasformazioni canoniche con V = 0 è data da
aα → ãα = cos χαaα + sin χαa †
−α
con i numeri reali χα che soddisfano la relazione
χα = −χ−α
(4.3)
(4.4)
Queste particolari trasformazioni canoniche sono caratterizzate dalla proprietà
di lasciare invarianti gli osservabili della forma
F =
(4.5)
α
f(α)a † αaα
se f(−α) = −f(α). (Per esempio, nel caso di fermioni tri-dimensionali,
osservabili invarianti sarebbero l’impulso P = k,σ ka †
k,σ a k,σ o lo spin J3 =
k,σ σa †
k,σ a k,σ , per α → −α dato da ( k, σ) → −( k, σ).)
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