Appunti di Fisica Teorica - INFN

In questo caso possiamo supporre che (se il potenziale V (x) decresce con
sufficiente rapidità all’infinito) l’integrale di Feynman sia dominato dalla
traiettoria rettilinea. Posto
s ≡ x2 − x1
la traiettoria rettilinea in questione è
¯x(t) = x1 +
x ≡ x1 + x2
2
t − t1
(x2 − x1) = x + s
t2 − t1
L’azione classica per questa traiettoria vale
¯S = ms2
2 ∆t −
∆t
2
− ∆t
2
t − t1+t2
2
t2 − t1
(24.14)
(24.15)
dτ V (x + s τ
) (24.16)
∆t
dove abbiamo posto ∆t ≡ t2 − t1 → +∞. Inoltre abbiamo
k1 · x1 − k2 · x2 = − k · x − p · s (24.17)
Pertanto approssimiamo l’elemento di matrice (24.11) con
〈 i
−
k2|e ˆ
H∆t
|
m
3/2
k1〉 ≈
2π i ∆t
i ms 2
− i
2 ∆t
× e
∆t
3/2
=
2π im
R ∆t
2
− ∆t
2
dτ V (x+s τ
∆t )
=
dx dq e −i k·x−i p·q∆t
m e
dx ds e −i k·x−ip·s ×
i ∆tq 2
2m
− i
R ∆t
2
− ∆t
2
dτ V (x+
q τ) m
(24.18)
dove il fattore davanti all’esponenziale (il determinante) è quello ottenuto
dal confronto con l’integrale di Feynman nel caso libero, Eq. (24.9) e nella
seconda riga abbiamo operato la sostituzione nella variabile d’integrazione
s ≡ ∆tq.
Nell’ipotesi che l’integrale
m
∞
dτ V (x +
q τ) (24.19)
m
−∞
sia convergente, possiamo effettuare l’integrazione in q col metodo del punto
sella, in quanto ∆t → ∞. Il punto sella localizza q intorno al valore ¯q dato
da
¯q = p (24.20)
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