Appunti di Fisica Teorica - INFN

Il segno meno nella prima riga tiene conto della statistica dei campi
fermionici (se ne può tenere conto in maniera equivalente, includendo un fattore
-1 della parità di carica intrinseca di una coppia fermione-antifermione).
In conclusione
Pertanto i bilineari con
¯ψ c γµ1 . . . γµn ψ c = (−1) n ¯ ψ γµn . . . γµ1 ψ (15.96)
Γ = 1, γ5, γµ γ5
hanno parità di carica C = +1, mentre quelli con
Γ = γµ, σµν
(15.97)
(15.98)
hanno parità di carica C = −1.
I settori con C = 1 e C = −1 corrispondono rispettivamente alle rappresentazioni
del gruppo di Lorentz che nella decomposizione del prodotto
tensore di due rappresentazioni di Dirac sono anti-simmetriche (C = 1) e
simmetriche (C = −1). La ragione è che C essenzialmente scambia i due
fattori del prodotto tensore, e quindi i suoi autospazi sono quelli simmetrici
ed antisimmetrici per scambio. L’inclusione del segno meno dovuto alla
statistica fa sí che il sottospazio (anti)simmetrico sia quello con C = −1
(C = 1).
Dimostriamo esplicitamente che i bilineari definiti dalle matrici (15.97) e
(15.98) generano, rispettivamente la parte antisimmetrica e simmetrica del
prodotto tensore di due rappresentazioni di Dirac. Il tensore
Tαβ = (ψ (1) ) c α ψ (2)
β
(15.99)
si trasforma per trasformazioni di Lorentz con la matrice S(Λ) ⊗ S(Λ).
Pertanto la parte simmetrica ed antisimmetrica sono sotto-rappresentazioni
invarianti. Poiché
(C −1 γ 0 )αγ Tαβ = ¯ ψ (1)
γ ψ (2)
β
le componenti invarianti di Tαβ sono date da
(U −1
C Γ)αβ Tαβ = ¯ ψ (1) Γ ψ (2)
(15.100)
(15.101)
dove Γ è una delle matrici in (15.97) e (15.98). Pertanto le componenti
simmetriche ed anti-simmetriche di Tαβ corrispondono, rispettivamente, a
Γ simmetriche ed antisimmetriche:
matrici U −1
C
(U −1
C Γ)t = −Γ t U −1
C
74
−1
= ±UC Γ (15.102)