Appunti di Fisica Teorica - INFN

Deduciamo
UC = β γ 0 C t
U ∗ C = γ C −1 γ 0 = γ C ∗ γ 0
con β e γ numeri. Prendendo la coniugata della seconda equazione
e confrontando con la prima
(15.88)
UC = −γ ∗ γ 0 C (15.89)
β C t = −γ ∗ C (15.90)
Notiamo che questa condizione è invariante per cambi di rappresentazione
nella rappresen-
associati a V unitarie. Calcoliamo dunque il rapporto −γ∗
β
tazione spinoriale: in questa rappresentazione C = γ2 = (γ2 ) t . In conclusione
in una generica rappresentazione unitariamente equivalente alla spinoriale,
vale la seguente proprietà
C t = C (15.91)
Il fattore moltiplicativo β non è fissato dalla definizione di UC. β è invariante
per trasformazioni V unitarie. Abbiamo
UC U ∗ C = −|β| 2
(15.92)
Una scelta comune è β = 1. In definitiva, con questa scelta in una rappresentazione
hermitiana (cioè unitariamente equivalente alla spinoriale) abbiamo
UC = γ 0 C (15.93)
Determiniamo le proprietà di trasformazione sotto C dei bilineari fermionici:
C : ¯ ψ Γ ψ → ¯ ψ c Γ ψ c
(15.94)
Utilizziamo una generica rappresentazione delle matrici gamma unitariamente
equivalente alla spinoriale. Abbiamo
¯ψ c Γ ψ c = ψ t C † γ 0 Γ C ψ ∗ = −ψ † C t Γ t (γ 0 ) t C ∗ ψ =
= − ¯ ψ γ 0 C Γ t (−) C −1 γ 0 C C ∗ ψ = ¯ ψ γ 0 C Γ t C −1 γ 0 ψ =
= ¯ ψ UC Γ t U −1
C ψ (15.95)
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