Appunti di Fisica Teorica - INFN

sono dei campi che si trasformano rispettivamente secondo le rappresentazioni
(0, 1 1 ) e ( , 0) . Questo dimostra immediatamente che le equazioni
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di Dirac nella rappresentazione spinoriale
od equivalentemente:
0 i σ µ
∂µ
0
¯σ µ ∂µ
i ¯σ µ ∂µ ψ 1
( 2 ,0)(x) = m ψ (0, 1
2 )(x)
i σ µ ∂µ ψ 1
(0, 2 )(x) = m ψ ( 1
2 ,0)(x)
(15.29)
− m
ψ 1
( 2 ,0)(x)
ψ 1
(0, 2 )(x)
= 0 (15.30)
sono covarianti.
Allo stesso modo, le Eqs. (15.25-15.26) dimostrano che le combinazioni
j µ
( 1 ,0)(x)
= ψ†
( 2 1
2 ,0)(x) ¯σµ ψ 1
( 2 ,0)(x)
j µ
(0, 1 = ψ†
) (0, 2 1
2 )(x) σµ ψ 1
(0, 2 )(x)
(15.31)
si trasformano come dei campi vettoriali. Pertanto il prodotto hermitiano
invariante sullo spazio delle soluzioni delle equazioni di Weyl, sia destrorse
che sinistrorse, è
〈ψ1, ψ2〉 = d 3 x ψ †
1(x) ψ2(x) (15.32)
Le stesse relazioni (15.22) dimostrano la covarianza dei vettori di polarizzazione
dei campi di Weyl:
dove
¯σ µ pµ u ( 1
ˆψ 1
( ,0)(x) =
2
p
ˆψ 1
(0, )(x) =
2
p
2 ,0)(p) = ¯σµ pµ v 1
( 2
σ µ pµ u 1
(0, 2 )(p) = σµ pµ v 1
(0, 2
px
u 1
( ,0)(p) e−i
2
,0)(p) = 0
(2 π) 3/2 (2 ωp) 1/2 âp + v ( 1
2
px
u 1
(0, )(p) e−i
2
(2 π) 3/2 (2 ωp) 1/2 âp + v (0, 1
2
)(p) = 0 (15.33)
px
,0)(p) ei
(2 π) 3/2 (2 ωp) 1/2 ˆb †
p
px
)(p) ei
(2 π) 3/2 (2 ωp) 1/2 ˆb †
p (15.34)
sono i campi di Weyl liberi. Innanzitutto dimostriamo che lo spazio delle
soluzioni delle Eqs. (15.33) per i vettori di polarizzazioni, sia destrorsi che
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