Appunti di Fisica Teorica - INFN

dove λ è uno scalare. Ma poiché S(P ) = ηP γ 0 , otteniamo
cioè
η ∗ P (γ 0 ) ∗ = λ ηP C −1 γ 0 C = −λ ηP (γ 0 ) ∗
(15.69)
η ∗ P = −ηP λ (15.70)
Dunque, se P 2 = 1 allora λ = −1 mentre se P 2 = −1, λ = 1.
Ora se applichiamo prima C e poi P su uno spinore di Dirac otteniamo
S(P ) C ψ ∗ (xP ) (15.71)
mentre se operiamo prima con P e poi con C abbiamo
C S ∗ (P ) ψ ∗ (xP ) (15.72)
Pertanto la richiesta che P e C commutino è equivalente a λ = 1. La (15.70)
implica che questo richiede P 2 = −1, ovvero ηP = ±i.
15.3 C per gli spinori
Dalla definizione
e dalla richiesta che
otteniamo la proprietà
C : ψ(x) → ψ c (x) = C ψ ∗ (x)
γ ∗ µ = −C −1 γµ C (15.73)
(ψ c (x)) c = ψ(x) (15.74)
C C ∗ = 1 (15.75)
Questo fissa la matrice C a meno una fase, che possiamo includere nella
definizione di parità di carica intrinseca. Deduciamo la legge di trasformazione
per C per cambio di rappresentazione
Abbiamo
γµ → ˜γµ = V γµ V −1
(15.76)
˜γ ∗ = V ∗ γ ∗ µ (V −1 ) ∗ = −V ∗ C −1 γµ C (V −1 ) ∗ = −V ∗ C −1 V −1 ˜γµ V C (V −1 ) ∗
71
(15.77)