Appunti di Fisica Teorica - INFN

che è un espressione divergente. Consideriamo però il rapporto dei determinanti
=
∞
(1 + ω2T 2
π2 )
n2 (23.24)
det(− d2
dt 2 + ω 2 )
det(− d2
dt 2 )
n=1
Questo prodotto infinito è convergente e dà
∞
(1 + ω2T 2
π2 sinh(ω T )
) =
n2 ωT
n=1
in accordo con il risultato ottenuto indirettamente, (23.21).
23.2 Determinanti funzionali e tracce
(23.25)
Sia D(α) un operatore lineare hermitiano con spettro positivo dipendente da
un parametro α (le stesse considerazioni si applicano se α è una famiglia di
parametri o perfino una funzione). Siano ψn e λn(α) le autofunzioni e gli
autovalori — ambedue dipendenti da α — di D(α):
D(α) ψn = λn(α) ψn
(23.26)
Scriviamo il logaritmo del determinante di D(α) nel modo seguente
log det D(α) = log
λn(α) =
log λn(α) (23.27)
Dall’identità
1
λn
n
∞
= dT e −λnT
otteniamo, integrando rispetto a λn, l’equazione
∞
dT
log λn(α) − log λ(α0) = −
T
0
0
n
e −λn(α) T − e −λn(α0)
T
(23.28)
(23.29)
Si noti che la funzione che compare nel secondo membro della Eq. (23.29) è
integrabile in quanto per T → 0 abbiamo
− 1
e
T
−λn(α) T − e −λn(α0)
T
→ λn(α) − λn(α0) + O(T ) (23.30)
Al contrario, ciascuno dei due termini che compare nel secondo membro
per T → 0 e quindi non sarebbe, da
della (23.29) tende alla funzione 1
T
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