Appunti di Fisica Teorica - INFN

23.4 Campo scalare in campo elettrico costante
Un campo elettrico constante nella direzione delle asse delle z può essere
descritto dal potenziale vettore
Aµ = (E x3, 0, 0, 0) (23.66)
L’operatore di cui vogliamo dunque calcolare il determinante è l’analogo
dell’operatore (23.44)
ˆH(E) ≡ −(ˆp0 −
e E
c x3) 2 + ˆp 2 1 + ˆp 2 2 + ˆp 2 3 + c 2 m 2
(23.67)
Effettuando la rotazione di Wick x0 → −ix0, p0 → i p0 nella (23.67) otteniamo
ˆHeuc(E)
i e E
≡ (ˆp0 − (23.68)
c x3) 2 + ˆp 2 1 + ˆp 2 2 + ˆp 2 3 + c 2 m 2
Notiamo che l’operatore ottenuto non è hermitiano: il suo spettro non sarà
reale e, di conseguenza, il determinante avrà una parte immaginaria. Applichiamo
infatti i risultati della sezione precedente sostituendo nelle formule
ottenute nel caso magnetico il campo magnetico B con iE. Dalla (23.60)
ricaviamo
S rin
eff (E)
V4
= − m4 c 4
16 π 2 3
= − m4 c 4
16 π 2 3
∞
dT
0 T 3
2 i a T
ei a T − e−i a T − 1 − a2 T 2
3!
∞
dT
T 3
a T
sin(aT ) − 1 − a2 T 2
e
3!
−T
dove il parametro adimensionale a è definito dalla relazione
0
a ≡
e E
m 2 c 3
e −T
(23.69)
(23.70)
Notiamo che l’integrando che appare nella (23.69) ha dei poli semplici per
valori di T che soddisfano la condizione
a T = n π (23.71)
dove n è un intero positivo. L’integrazione sul semi-asse reale T > 0 è dunque,
strettamente parlando, non definita. Definiamo l’integrale per continuazione
analitica dando al parametro a una piccola parte immaginaria a → a+iɛ con
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