Appunti di Fisica Teorica - INFN

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Introducendo pertanto gli operatori di campo relativistici ˆψ(x) = ˆ ψ (+) (x) + ˆ ψ (−) (x) ≡ ≡ p, σ âp, σ ψ (+) p, σ (x) + ˆb † p, σ ψ(−) p, σ (x) (14.10) otteniamo le seguenti formule per l’operatore che nella teoria non-relativistica è associato al numero di particelle sullo spazio di Fock: 〈 ˆ ψ, ˆ ψ〉scalare = 〈 ˆ ψ (+) , ˆ ψ (+) 〉scalare + 〈 ˆ ψ (−) , ˆ ψ (−) 〉scalare = = p â † p âp − ˆ bp ˆ b † p 〈 ˆ ψ, ˆ ψ〉weyl = 〈 ˆ ψ (+) , ˆ ψ (+) 〉weyl + 〈 ˆ ψ (−) , ˆ ψ (−) 〉weyl = = p â † p âp + ˆ bp ˆ b † p 〈 ˆ ψ, ˆ ψ〉dirac = 〈 ˆ ψ (+) , ˆ ψ (+) 〉dirac + 〈 ˆ ψ (−) , ˆ ψ (−) 〉dirac = = p σ â † p σ âp σ + ˆb pσ ˆb † p σ (14.11) (14.12) (14.13) Pertanto, otteniamo per le corrispondenti Hamiltoniane le espressioni seguenti: 〈 ˆ ψ, i ∂t ˆ ψ〉scalare = 〈 ˆ ψ (+) , i ∂t ˆ ψ (+) 〉scalare + 〈 ˆ ψ (−) , i ∂t ˆ ψ (−) 〉scalare = = p ωp â † p âp + ωp ˆ bp ˆ b † p 〈 ˆ ψ, i ∂t ˆ ψ〉weyl = 〈 ˆ ψ (+) , i ∂t ˆ ψ (+) 〉weyl + 〈 ˆ ψ (−) , i ∂t ˆ ψ (−) 〉weyl = = p ωp â † p âp − ωp ˆ bp ˆ b † p 〈 ˆ ψ, i ∂t ˆ ψ〉dirac = 〈 ˆ ψ (+) , i ∂t ˆ ψ (+) 〉dirac + 〈 ˆ ψ (−) , i∂t ˆ ψ (−) 〉dirac = = p σ ωp â † p σ âp σ − ωp ˆb pσ ˆb † p σ 60 (14.14) (14.15) (14.16)
Dalle equazioni (14.11-14.13) e (14.14-14.16) deduciamo che le particelle associate ai campi con spin intero devono essere quantizzate come dei bosoni mentre quelle associate ai campi con spin semiintero devono essere quantizzate come dei fermioni: con questa scelta otteniamo infatti le seguente espressione, definita positiva per ogni spin, per l’operatore Hamiltoniano ˆ H (a meno di una costante divergente inessenziale): ˆH = ωp â † (14.17) p σ p σ âp σ + ωp ˆb † pσ ˆbp σ Allo stesso tempo deduciamo anche che, con questa scelta della statistica, l’operatore sullo spazio di Fock associato alla carica conservata relativa alla simmetria (14.2) è (trascurando una costante divergente) ˆQ = â † (14.18) p σ p σ âp σ − ˆb † pσ ˆbp σ e corrisponde al numero di particelle meno il numero di antiparticelle. In particolare questo implica che il numero di particelle in meccanica quantistica relativistica non è conservato. 15 Spinori 15.1 Proprietà di coniugazione delle rappresentazioni spinoriali L’algebra di Lie delle trasformazioni omogenee di Lorentz [J i , J j ] = i ɛijk J k [K i , K j ] = −i ɛijk J k può essere riscritta in forma fattorizzata ponendo [J i , K j ] = i ɛijk K k (15.1) A i ± = 1 2 (J i ± i K i ) (15.2) In questa base le relazioni di commutazione diventano [A i ±, A j ±] = i ɛijk A k ± [A i +, A j −] = 0 (15.3) Le rappresentazioni irriducibili finito-dimensionali dell’algebra delle trasformazioni omogenee di Lorentz sono quindi labellate da una coppia di spin 61
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15 Spinori 61 15.1 Proprietà di co
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di prima-quantizzazione: F (1) ψα
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a
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ɛ > 0. Questo equivale a definire
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dove ψ1(x1, t1) e ψ2(x2, t2) sono
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In questo caso possiamo supporre ch
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dove kz è la componente di k lungo
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