Appunti di Fisica Teorica - INFN

L’azione effettiva per il campo elettromagnetico prodotta dalla materia è
dunque
i
Seff(B) = − log det[ 2 DµD µ + c 2 m 2 ] (23.43)
Vogliamo dunque calcolare il determinante del seguente operatore
ˆH(B) ≡ −ˆp 2 0 + ˆp 2 1 + (ˆp2 − e
c B x1) 2 + ˆp 2 3 + c 2 m 2
(23.44)
dove abbiamo introdotto gli operatori “momento” ˆpµ = −i ∂µ. L’operatore
ˆH(B) non è definito positivo a causa del segno meno davanti al primo termine.
Consideriamo allora l’operatore definito positivo ottenuto per rotazione di
Wick x0 → −ix0.
ˆHeuc(B) ≡ ˆp 2 0 + ˆp 2 1 + (ˆp2 − e
c ˆx1B) 2 + ˆp 2 3 + c 2 m 2
Con questa sostituzione l’integrale di Feynman in (23.42) diventa reale
per cui
(23.45)
e i
Seff (B) → e − S eff (B)
(23.46)
Seff(B)
= log det ˆ Heuc(B) (23.47)
Per applicare la formula (23.33) dobbiamo dunque calcolare la funzione di
partizione per l’operatore ˆ Heuc(B)
Z(B, T ) ≡ Tr e −T ˆ Heuc(B)
(23.48)
L’operatore (23.45) può essere visto come l’Hamiltoniana di un sistema di
meccanica quantistica: gli operatori momento ˆp0 ˆp3 e ˆp2 commutano tra
loro e con con questa Hamiltoniana ed hanno spettro continuo. Per ottenere
uno spettro discreto conviene mettere il sistema in una scatola quadridimensionale
con 0 ≤ xµ ≤ Lµ. La funzione di partizione (euclidea) per
questo sistema quantistico si scrive dunque
Z(B, T ) =
dp0L0
2π
dp2L2
2π
dp3L3
2π e−T (p2 0 +p2 3 +c2 m 2 ) Tr e −T[p 2 1 +e2 B 2 (x1− c p 2
e B )2]
106
(23.49)