Appunti di Fisica Teorica - INFN

dove ω è una matrice N × N, diagonale (e quindi simmetrica). Siano ωi
con i = 1, . . . , N gli elementi diagonali di ω: l’Hamiltoniana H diventa nelle
variabili z ′
H =
i
ωi (a ′ ) †
i a′ i + 1
2
(ωi − hii) (2.15)
Moltiplicando la relazione (2.14) a sinistra per ɛ ed utilizzando la relazione
(2.13), otteniamo
U −1
0 ω ω 0
ɛ K U = ɛ =
(2.16)
ω 0 0 −ω
od, equivalentemente,
ɛ K U = U
ω 0
0 −ω
i
(2.17)
Le relazioni (2.16-2.17) implicano che la matrice simplettica U diagonalizza
la matrice ˜K definita da
∗
˜K
h g
≡ ɛ K =
−g −h∗
(2.18)
Pertanto le colonne della matrice U sono gli autovettori di ˜K:
ν
˜Kµν Uνλ = ωλ Uµλ
(2.19)
dove ωλ ≡ (ωi, −ωi). Le frequenze ± ωi sono pertanto le 2N soluzioni dell’e-
quazione secolare associata a ˜K:
P (ω) ≡ det ˜K − ω 12N×2N =
h − ω 1N×N g
= det
∗
−g −h ∗ − ω 1N×N
= 0 (2.20)
OSSERVAZIONE: Notiamo che la prima delle relazioni (2.11) implica
˜K t = −K ɛ = ɛ ˜K ɛ (2.21)
Pertanto se vω è un autovettore di ˜K con autovalore ω, allora
ɛ ˜Kvω = ωɛ vω
9
(2.22)