Appunti di Fisica Teorica - INFN

Scegliendo le matrici D (j)
σσ ′(R) tali che
otteniamo
e
D (j)
σσ ′(Rz(θ))
θ σ
= δσσ ′ ei
aσλ(˜p) = Cσ(|p|) δσλ
(13.42)
(13.43)
ψ|p| ˆz,λ = Cλ(|p|) ˜p, λ〉 (13.44)
Prendiamo le basi |p, σ〉 e ψp,λ normalizzate secondo la seguente
Allora i fattori Cλ(|p|) sono delle fasi
〈p, σ|p ′ , σ ′ 〉 = δσσ ′ δ(3) (p − p ′ )
(ψp,λ, ψp ′ ,λ ′) = δλλ ′ δ(3) (p − p ′ )
|Cλ(|p|)| 2 = 1 (13.45)
Possiamo sempre riassorbire queste fasi nella definizione della base |p, σ〉 e
prendere
Cλ(|p) = 1 (13.46)
In definitiva
aσλ(p) = D (j)
σλ (R(ˆp)) (13.47)
e la base degli stati dell’elicità è legata alla base degli stati di spin definito
nel sistema di riposo dalla
ψp,λ = D (j)
σλ (R(ˆp)) |p, σ〉 (13.48)
Si noti che questa relazione è valida se L(p) è tale che
W (R, p) = L(R p) −1 R L(p) = R (13.49)
14 Relazione tra Spin e Statistica in Seconda
Quantizzazione
Sia H (1) ≡ H (+) ⊕ H (−) lo spazio delle soluzioni delle equazioni relativistiche
libere classiche, che chiameremo anche (impropriamente) lo spazio degli stati
di singola particella. Sia
〈ψ, ψ〉 =
d
t costante
3 x j 0 (t, x) (14.1)
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