Appunti di Fisica Teorica - INFN

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Selezionando i termini suddetti nell’Hamiltoniana arriviamo a H ′ = p,σ p 2 2m a† p,σap,σ − 1 V p,p ′ u(p, p ′ )a † p ′ 1/2 a† −p ′ −1/2 a−p −1/2ap 1/2 (10.2) NOTA: se, in accordo con la motivazione esposta sopra, proiettassimo l’interazione nell’Hamiltoniana (10.1) sul settore di singoletto di spin otter- remmo in effetti H ′ ma con un potenziale u(p, p ′ ) = 1 2 [u(p − p′ ) + u(p + p ′ )], dove u(k) è il potenziale che appare nella (10.1). Trascuriamo per semplicità la differenza tra u(p, p ′ ) e u(p): in ogni caso prenderemo alla fine u costante nell’intervallo degli impulsi d’interesse. Siamo interessati a studiare lo stato fondamentale di H ′ nel settore nel quali l’operatore numero di particelle ˆ N = p σ a† p σ ap σ è eguale al numero N. Questo problema è equivalente a quello di determinare lo stato fondamentale della seguente Hamiltoniana Hµ = H ′ − µ ˆ N (10.3) nello spazio di Fock totale senza restrizioni sul numero di particelle. Lo stato fondamentale |F 〉µ di Hµ dipende naturalmente dal potenziale chimico µ: determinando µ attraverso l’equazione 〈F | ˆ N|F 〉µ = N (10.4) otterremo lo stato fondamentale di H ′ nel settore di particelle N. Un modo di capire questo è pensare al problema di determinare lo stato fondamentale di H ′ come un problema di minimo vincolato: dobbiamo trovare lo stato |F 〉 che minimizza 〈F |H|F 〉 nel sottospazio ˆ N = N. Possiamo allora pensare a µ come un moltiplicatore di Lagrange e trovare il minimo di 〈F |H ′ − µ[ ˆ N − N]|F 〉 (10.5) rispetto a |F 〉 e µ. L’annullarsi della derivata di (10.5) rispetto a µ è equivalente all’equazione (10.4). In conclusione vogliamo studiare lo stato fondamentale di H = p,σ ɛ(p)a † p,σ ap,σ − 1 V p,p ′ u(p, p ′ )a † p ′ 1/2 a† −p ′ −1/2 a−p −1/2ap 1/2 40 (10.6)
dove ɛ(p) ≡ p2 − µ 2m L’idea è allora di utilizzare un principio variazionale: cercheremo il minimo del valor medio 〈H〉 su una classe di stati corrispondenti ai vuoti degli operatori di creazione e di distruzione parametrizzati dalla trasformazione di Bogolioubov: dove vp,σ = σ |σ| vp e ap σ = upbp σ + vp,σb † −p,−σ (10.7) u 2 p + v 2 p = 1 (10.8) Sappiamo che grazie alla condizione (10.8) la trasformazione (10.7) è canonica. Vogliamo dunque determinare la trasformazione canonica (up, vp) minimizzando 〈up, vp|H|up, vp〉, dove |up, vp〉 è lo stato di vuoto relativo a bp σ. Sostituendo (10.7) in (10.6) otteniamo dove: E0 = 〈up, vp|H|up, vp〉 = 2 Definendo H = E0 + H2 + H4 p ∆p ≡ 1 V ɛ(p)v 2 p − 1 V p ′ p,p ′ u(p, p ′ )vp ′up ′vpup (10.10) (10.9) u(p, p ′ )vp ′up ′ (10.11) abbiamo per la parte dell’Hamiltoniana quadratica negli operatori bp σ, b † p σ : H2 = [ɛ(p)(u p σ 2 p − v 2 p) + 2∆pupvp] b † p σbp σ + + [2ɛ(p)upvp + 1 V p p ′ u(p, p ′ )vp ′up ′ (v2 p − u 2 p)] b † p 1/2 b† p,−1/2 + +h.c. (10.12) Infine H4 include i termini dell’Hamiltoniana quartici negli operatori bp σ, b † p σ . 41
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dove abbiamo definito la funzione d
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21.2 Propagatore per il campo di Di
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Poiché = = la (22.9) diventa d Γi
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22.2.2 Diffusione da potenziale In
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Dobbiamo dunque determinare ˙¯x(T
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che è un espressione divergente. C
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L ω = − 2 √ ∞ π → ɛ→0
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dove la traccia nel secondo membro
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e dell’azione effettiva Seff(B) p
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ɛ > 0. Questo equivale a definire
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dove ψ1(x1, t1) e ψ2(x2, t2) sono
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In questo caso possiamo supporre ch
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dove kz è la componente di k lungo
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