Appunti di Fisica Teorica - INFN

L’energia imperturbata dello stato fondamentale è
E0 = 2V
SF
d3k (2π) 3
2 2 k
2m
2V
=
8π3 4πk5 F
5 = V k3 F
5π2 da cui otteniamo l’energia per elettrone
E0
N
3
=
5
2k2 F
2m
2 k 2 F
π 2 2m
= 3N
5
2 k 2 F
2m
(5.6)
(5.7)
Stimiamo quest’energia in termini delle grandezze atomiche naturali: poniamo
n = 1/(laB) 3 , dove l è un numero puro: questa densità corrisponde ad
1 elettrone in un cubo di lato equale ad l volte il raggio di Bohr aB = 2
me 2 .
(Per esempio per il rame, il reticolo cristallino ha passo 4aB, e c’è in media
un elettrone in ogni cubo del reticolo, quindi in questo caso l = 4). (Un’
altra parametrizzazione è 1
n
media in una sfera di raggio rsaB. Dunque l = ( 4π
3
e
E0
N = 3 (3π2 ) 2
3
5
2
= 4π
3 (rsaB) 3 . Cioè ogni elettrone è contenuto in
2m l 2 a 2 B
) 1
3 rs). Dunque kF = (3π2 ) 1 3
laB
= 3 (3π2 ) 2
3
5 l 2 EH (5.8)
dove EH ≈ 13.6 ev è l’energia di legame dell’elettrone nello stato fondamentale
dell’atomo di idrogeno. (Dunque per il rame, E0 5.74 ≈ N l2 EH ≈ 0.359 EH ≈
4.88 ev)
Valutiamo ora la correzione al primo ordine a E0
N :
E1
N = 〈F |HIF 〉
N
= 4πe2
2V N
k1, 1
〈F |a†
q 2 k1+q,
a
σ1
k2,q σ1,σ2
†
k2−q,
a
σ2
k2 σ2 ak1 |F 〉 σ1
(5.9)
Evidentemente nella somma contribuiscono solo i k1 e k2 che appartengono a
SF . Gli impulso k1 + q e k2 − q devono dunque coincidere con k1, k2: esistono
due possibilità: la prima possibilità è k1 + q = k1 e k2 − q = k2, cioè q = 0,
ma questo termine è escluso dalla somma. Dunque gli unici termini che
contribuiscono sono quelli con k1 + q = k2 e k2 − q = k1, cioè q = k2 − k1.
Inoltre in questo caso deve essere anche σ1 = σ2. In conclusione
E1
N
= 4πe2
2V N
k1, k2∈SF
σ
1
〈F |a†
q 2 k2,σ a† a k1σ
k2,σ ak1,σ |F 〉 = −4πe2
V N
19
k1, k2∈SF
1
q 2
(5.10)