Appunti di Fisica Teorica - INFN

Nel seguito è utile introdurre anche le matrici
¯σµ ≡ (1, −σ i ) = σ µ
¯σ µ ≡ (1, σ i ) (15.21)
Le relazioni (15.16) diventano equivalenti alle seguenti relazioni
R(Λ) σµ R † (Λ) = Λ ν µ σν
R(Λ) σ µ R † (Λ) = (Λ −1 ) µ ν σ ν
R(Λ) † ¯σµ R(Λ) = (Λ −1 ) ν µ ¯σν
R(Λ) † ¯σ µ R(Λ) = Λ µ ν ¯σ ν
(15.22)
Queste relazioni dimostrano la covarianza delle equazioni di Weyl. In
effetti, siano ψ 1
( 2 ,0)(x) e ψ (0, 1 )(x) dei campi che soddisfano le equazioni di
2
Weyl
¯σ µ ∂µ ψ 1
( )(x) = 0 (15.23)
2 ,0)(x) = 0 σµ ∂µψ 1
(0, 2
L’azione del gruppo di Lorentz sui campi
U(Λ) : ψ ( 1
2 ,0)(x) → R(Λ) ψ ( 1
2 ,0)(Λ−1 x)
U(Λ) : ψ (0, 1
2 )(x) → R(Λ− 1) † ψ (0, 1
2 )(Λ−1 x) (15.24)
lascia invariante lo spazio delle soluzioni
R † µ ∂
(Λ) ¯σ
∂x µ R(Λ) ψ ( 1
2 ,0)(Λ−1 x) = Λ µ ν ∂
ν ¯σ
∂
Λ µ ν ¯σ ν (Λ −1 ) λ µ
∂xλ Λ
dove xΛ ≡ Λ −1 x. Analogamente:
e
∂x µ ψ ( 1
2 ,0)(Λ−1 x) =
ψ 1
( 2 ,0)(xΛ)
ν ∂
= ¯σ
∂xν ψ 1
( 2
Λ
,0)(xΛ) = 0 (15.25)
R(Λ −1 µ ∂
) σ
∂x µ R† (Λ −1 ) ψ 1
(0, 2 )(Λ−1 x) = Λ µ ν ∂
ν σ
∂x µ ψ (0, 1
2 )(Λ−1 x) =
∂
Λ µ ν σ ν (Λ −1 ) λ µ
∂xλ Λ
ψ 1
(0, 2 )(xΛ)
ν ∂
= σ
∂xν ψ 1
(0, 2
Λ
)(xΛ) = 0 (15.26)
Notiamo che le Eqs. (15.25-15.26) dimostrano anche che i campi
ξ (0, 1
2 )(x) ≡ ¯σµ ∂µ ψ ( 1
2 ,0)(x)
ξ ( 1
2 ,0)(x) ≡ σµ ∂µ ψ (0, 1
2 )(x)
64
(15.27)
(15.28)