Appunti di Fisica Teorica - INFN

dimensione 2s + 1. L’azione di G sui vettori della base diventa in rappresentazione
di Schrödinger
U (1) (g) : ψ (σ)
α (x) → R σ σ ′(g) ψ(σ′ )
α (g −1 x) =
β
U (1)
βα (g) ψ(σ)
β (x) (11.5)
OSSERVAZIONE: Nel caso non-relativistico, se G è il gruppo delle rotazioni,
Rσ σ ′(g) è la matrice unitaria associata alla rappresentazione di spin
s del gruppo delle rotazioni. In generale però — in particolare nel caso relativistico
— Rσ σ ′(g) non è necessariamente una rappresentazione unitaria di
G, ma soltanto una rappresentazione finito dimensionale. Tutto quello che
segue non dipende da fatto che Rσ σ ′(g) sia unitaria o meno ma solo dal fatto
che U (1) (g) lo sia.
Nel formalismo di seconda quantizzazione gli stati di singola particella ψα
sono rappresentati nel modo seguente
ψα ↔ a † α|0〉 (11.6)
Pertanto, se denotiamo con UF (g) l’operatore unitario che implementa G
sullo spazio di Fock, deve essere
UF (g) a † α|0〉 = U (1)
βα (g) a†
β |0〉 (11.7)
La trasformazione canonica sull’algebra degli operatori di creazione e distruzione
che corrisponde a (11.2) è pertanto
Di conseguenza
a † α → UF (g) a † α U −1
F
(1)
(g) = U βα (g) a†
β
aα → UF (g) aα U −1
(1)
F (g) = U βα(g) aβ
dove il barrato indica la coniugazione complessa. Poniamo
UF (g) ≡ e i HF (g)
(11.8)
(11.9)
(11.10)
dove HF (g) è il generatore hermitiano della trasformazione g sullo spazio di
Fock. Sia inoltre
U (1)
βα (g) ≡ (ei h(1) (g) )βα (11.11)
dove h (1)
βα (g) è la matrice hermitiana che rappresenta il generatore della trasformazione
g sullo spazio di singola particella H (1) . Da (11.8) e (11.9)
deriviamo le relazioni
[HF (g), a † α] = h (1)
βα (g) a†
β
[HF (g), aα] = −h (1)
αβ (g) aβ (11.12)
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