Appunti di Fisica Teorica - INFN

dove ψ1(x1, t1) e ψ2(x2, t2) sono le funzioni d’onda degli stati |ψ2,1(t2,1)〉 =
i
− e ˆ H0t2,1
|ψ2,1〉 che evolvono secondo l’Hamiltoniana libera. Supponendo che
l’Hamiltoniana libera sia
ˆH0 = p2
(24.3)
2m
abbiamo
S21 = lim
t2→+∞ t1→−∞
×
3 d k2 d k1
(2π) 3
φ∗2( k2) φ1(
−i t1 k1) e k 2 1
i t2
2m e k 2 2
2m ×
dx2 dx1 e ik1·x1 −i
e i
k2·x2 −
〈x2|e ˆ H(t2−t1)
|x1〉 (24.4)
Possiamo calcolare gli integrali in k1,2 utilizzando il metodo del punto sella
(in quanto |t1,2| → ∞): poniamo
k1,2 = ¯ k1,2 + ˆ k1,2
(24.5)
dove ¯ k1,2 sono determinati dalla condizione di stazionarietà delle fasi oscillanti
Dunque
2 m
3/2
S21 = lim
t2→+∞ t1t2
t1→−∞ i
−
×〈x2|e ˆ H(t2−t1)
|x1〉
= lim
t 2 →+∞
t 1 →−∞
× ¯x2(t2)
e
4
t1t2
3/2
m 2
i
− ˆ H(t2−t1)
¯ k1,2 = mx1,2
t1,2
dx2 dx1 φ ∗ 2( mx2
t2
) φ1( mx1
t1
) e i t1 ¯ k 2
1
(24.6)
2m e −i t2 ¯ k 2
2
2m ×
dk2 dk1 φ ∗ 2( k2) φ1(
i t1 k1) e k 2 1
−i t2
2m e k 2 2
2m ×
¯x1(t1)
(24.7)
dove ¯x2(t2) e ¯x1(t1) sono le traiettorie classiche libere, rispettivamente per
tempi grandi positivi (t2 → +∞) e negativi (t1 → −∞):
¯x2(t2) ≡ k2t2
m
113
¯x1(t1) ≡ k1t1
m
(24.8)